Исследование уравнения вынужденных колебаний. Резонанс

Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний

, . (1.2)

Пусть возмущающая внешняя сила является периодической и изменяется по закону , где а – амплитуда, - частота колебаний внешней силы. Тогда, уравнение (1.2) примет вид:

(1.5)

Найдем общее решение этого уравнения. Подробно исследуем случай, когда , т.е. корни характеристического уравнения комплексные .

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

(1.6)

1) Пусть , тогда частное решение уравнения (1.2) будем искать в виде

, (1.7)

так как числа не являются корнями характеристического уравнения.

Подставив в уравнение (1.5) найдем значения M и N.

Значения , подставив в уравнение (1.5) получим

и систему . Отсюда, , ,

, ,

, .

Вместо найденных постоянных M и N в частное решение (1.7) введем новые постоянные и , связанные с M и N соотношениями

, (1.8)

то есть , .

Подставив M и N в виде (1.8) в (1.7) получим

или

.

Общее решение уравнения (1.5) имеет вид или

(1.9)

В решении (1.9) первое слагаемое представляет затухающие колебания и при стремится к нулю. Следовательно, через некоторый промежуток времени главное значение будет иметь второе слагаемое, определяющее вынужденные колебания.

Рассмотрим вклад этого слагаемого отдельно.

Частота этих колебаний равна частоте внешней силы Амплитуда этих колебаний тем больше, чем меньше p (то есть, чем меньше сила сопротивления) и чем ближе . Так как или , то при малых значениях p близость означает близость , то есть частота внешней силы близка к частоте собственных колебаний.

2) Предположим, что , то есть рассмотрим уравнение колебаний без сопротивления при наличии периодической внешней силы. В этом случае уравнение (1.5) примет вид:

(1.10)

Общее решение соответствующего однородного уравнения можно взять из пункта 1), считая , то есть .

При поиске частного решения нужно уже рассмотреть два случая, так как может являться корнем характеристического уравнения

или .

а) Если , то есть , то , и

общее решение этого уравнения примет вид:

(1.11)

То есть движение получается в результате наложения собственного колебания с частотой и вынужденного колебания с частотой .

б) Если (частота собственных колебаний совпадает с частотой внешней силы) или совпадают с корнями характеристического уравнения , то частное решение уравнения (1.10) нужно искать в виде

(1.12)

Подставив, получим:

, .

Откуда , и

общее решение уравнения (1.11) примет вид:

, . (1.13)

Второй член выражения (1.13) показывает, что амплитуда колебания неограниченно возрастает при неограниченном возрастании в решении t.

y

t

Это явление, имеющее место при совпадении частоты собственных колебаний системы с частотой внешней силы называется резонансом.