Линейная модель с сосредоточенными параметрами

18.1. Ударный объем крови

Моделирование работы кровеносной системы проводят на основе объединения совокупностей сосудов данного типа в один гидродинами-ческий элемент. Система крупных сосудов артериальной части большого круга кровообращения О.Франком (1899) была смоделирована в виде одной упругой камеры, а система мелких сосудов с вязкостным сопротивлением – жесткой трубкой.

3 С 1 4Д	1 – упругая камера (кровеносные сосу-ды большого круга); 2 – жесткая трубка; (периферические сосуды); 3 – клапан; 4 – насос (левый желудочек сердца) С, Д – систола и диастола.
Рис.36. Модель Франка

Электрическим аналогом этой гидродинамической системы служит цепь, состоящая из параллельно соединенных конденсатора и активного сопротивления, как показано на рис.37.

С

R

Рис.37. Электрический аналог модели Франка

Давление Р, создаваемое сердцем при сокращении, прикладывается сразу по всем крупным артериям, т.е. к единой гидродинамической емкости. Теоретический анализ кровотока в такой гемодинамической системе с сосредоточенными параметрами, показывает возможность измерения показателей кровяного давления, расчета ударного объема крови в большом круге кровообращения.

Объем крови, выходящий из сердца за время dt, представляет собой сумму объема крови, протекающей через жесткую трубку и изменением объема крови в упругой камере.

Если пользоваться объемными значениями скоростей можем записать:

Q_odt = Qdt + dV (18.1)

где dV=Sdl, S– площадь поршня, dl – изменение высоты камеры (длина пружины).

Известно, что Е= (ds /dl), тогда принимая ds = dp, можно записать dV = Sldp/E, тогда формулу (18.1) можно представить в виде при С_о = Sl/E

– гидродинамическая емкость упругой камеры:

Qdt = Q_оdt + C_о dp. (18.2)

Исходя из соотношения р₁ – р₂ = R_оQ, объемная скорость кровотока через периферические сосуды (жесткую трубку)

Q_о=(p-p_в)/R_o, (18.3)

где p – давление в круглых сосудах, p_в – венозное давление, R_o – общее вязкостное сопротивление периферических сосудов.

Если p_в= 0, то из (18.2) и (18.3) следует, что

Qdt = pdt/R_o + C_odp. (18.4)

Проинтегрировав это выражение в промежутке времени, равном периоду пульса Т, получим:

. (18.5)

Второй член в правой части равен нулю. Левая часть уравнения и есть ударный объем крови V_у, который находится как площадь под кривой Р(t) за период импульса, деленная на вязкостное сопротивление. Вводя параметр – среднее давление за период пульса, получим:

. (18.6)

Сердце заканчивает выброс крови к моменту достижения максимального систолического давления (рис.36). Дальнейшее изменение давления до минимального, диастолического связано с выходом крови из крупных сосудов (упругой камеры). Для периода времени Тd величина объемной скорости в периферических сосудах Q = 0 тогда уравнение (18.4) примет вид Сdp=-pdt/R_о. Проинтегрировав это выражение в пределах p_С до р_D и от 0 до Т и представив правую часть через среднее давление, получим:

C_o(p_C-p_D)=pT_D/R_o (18,7)

где р – среднее давление за период Т_D, оно приближенно равно р_п в уравнении (18.6).

Р Рс     ТD   РD   t
Рис.38. Зависимость величины давления от времени

Емкость C₀ в уравнении (18.7) равна Сl_a, где l_a – эффективна длина крупных артерий, С – средняя емкость этих сосудов на единицу длины.

Если известна скорость пульсовых вол, величина С может быть определена из формулы:

, (18.8)

где S_o – эффективная площадь поперечного сечения, которую принимают равной площади поперечного сечения восходящей дуги аорты, и определяют по данным рентгенографии.

Из сочетания уравнений (18.6 – 18.8) можно получить выражение для ударного объема крови при р = р_п:

V = k S_o (p_c-p_D)T_п l_a r V²T_D (18.9)

k – эмпирический коэффициент, близкий к единице. Его используют чтобы уменьшить погрешности за счет введенных упрощений.

Наибольшая трудность при использовании этого уравнения связана с неопределенностью эффективной длины артерии. Предполагают, что ее длина равна половине длины волны основного колебания пульса l_a = VT/2, Т – период этого колебания измеряемого по пульсу в бедренной артерии (О.Франк).

Это уравнение дает возможность определять изменения ударного объема крови у больного, т.к. параметры k,l_a, S_o и r при этом изменяются незначительно.

18.2. Режимы течения крови

Режимы течения жидкости, в том числе и крови, разделяют на ламинарное и турбулентное.

Ламинарное – это упорядоченное течение жидкости. Она перемещается как бы слоями, параллельными направлению течения. С увеличением скорости потока ламинарное течение может переходить в турбулентное, т.е. происходит перемешивание слоев. В потоке возникают вихревые эффекты.

Эпюра распределения скоростей движения слоев при ламинарном движении жидкости по сечению трубы близка к параболическому виду.

Основной характеристикой, с помощью которой оценивают режим течения жидкости, является число Рейнольдса.

а	б
Рис.39. Режимы течения жидкости: а – ламинарное, б – турбулентное

Для цилиндрической трубы круглого сечения число Рейнольдса определяют по формуле ,где R – радиус трубы, V – средняя скорость по сечению трубы, r - плотность жидкости, h - вызкость жидкости (18.10)

Вычисленное значение числа Рейнольдса, при котором проявляются процессы, характерные для турбулентного движения (переходные режимы), называется критическим числом Рейнольдса, оно примерно равно 2300.

Если Re_кр>Re, то течение ламинарное, при Re_кр<Re – турбулентное.

Как правило, движение крови по сосудам является ламинарным. Иногда возможно и турбулентное движение.

Например, турбулентное движение крови в аорте может быть вызвано турбулентностью кровотока у входа в нее. Вихри потока уже имеют место при выталкивании крови из желудочка в аорту. Это подтверждено экспериментально.

У мест разветвления сосудов, а также при увеличении скорости кровотока, например при интенсивной мышечной деятельности, течение может стать турбулентным и в артериях.

Турбулентное течение предполагает дополнительную затрату энергии при движении жидкости. В кровеносной системе это явление приводит к дополнительной нагрузке на сердце. При турбулизации потока возникают шумы. Шум, возникающий в сосудистом русле, используется для диагностики заболеваний. Например, при поражении клапанов сердца, возникают шумы, вызванные турбулизацией потока крови.