Глава II. Решение задач теории потребления

§1. Задачи теории потребления:

1. Пусть функция полезности потребителя имеет вид , где , - два взаимозаменяемых товара. Обычно потребитель потребляет эти товары в количестве , . Найдите предельную норму замещения в этой точке. Допустим, потребление первого товара сократилось до 4 ед. Как должно измениться потребление второго товара, чтобы значение функции полезности не изменилось?

Решение: Предельная норма замещения определяется как

Тогда в точке (9,10) предельная норма замещения . Значение функции полезности . Обозначим через y потребление второго товара, соответствующее значению функции полезности и потреблению первого товара , тога и отсюда , то есть потребление второго товара должно увеличиться на 4.

Ответ: . Должно увеличиться на 4.

2. Потребитель приобретает два вида товаров в объемах и . Функция полезности , цены товаров соответственно, доход равен 40. Может ли значение функции полезности быть равно 150? 300? Обоснуйте свой ответ.

Решение: Чтобы получить ответ на вопросы задачи, нужно определить, есть ли общие точки у бюджетной линии и кривых безразличия. Возьмем первую кривую безразличия. Составим систему. Для квадратного уравнения дискриминант, система имеет два различных решения, а значит, значение функции полезности может быть равно 150. Возьмем теперь вторую кривую безразличия. Для квадратного уравнения дискриминант, т.е. система не имеет вещественных решений, а значит, функция полезности не может принимать значение 300.

Ответ: Да. Нет.

3. Функция полезности для данного потребителя имеет вид , а доход, выделенный им для покупки данных товаров, равен 24. В оптимальный набор вошли 2 ед. первого товара и 3 ед. второго товара. При каких ценах на товары потребитель сделал данный выбор?

Решение: Поскольку набор (2,3) оптимален, то он является точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия. Полезность данного набора , тогда уравнение кривой безразличия или . Обозначим цены товаров и соответственно, тогда уравнение бюджетной линии. Уравнение касательной к кривой в точке (2,3) записывается в виде . Чтобы эта прямая совпала с бюджетной линией, должно быть .

Ответ: , .

4. Фермер выращивает яблоки и другие культуры на площади 500 кв. футов. Каждая яблоня занимает 1 кв. фут, а другие культуры - по 4 кв. фута. Функция полезности имеет вид , где - число яблонь, - число других культур. Сколько яблонь и других деревьев посадит фермер, чтобы максимизировать полезность? Если площадь сада увеличится на 100 кв. футов, насколько изменятся посадки яблонь и других культур?

Решение: Составим оптимизационную задачу максимизации полезности, заметив, что бюджетному ограничению в ней соответствует ограничение на расход площади сада:

Запишем функцию Лагранжа

Необходимые условия оптимальности:

Тогда .

Во втором случае

Отсюда - функция Лагранжа.
Необходимые условия оптимальности:

Тогда .

Примечание. Вообще говоря, в силу характера переменных рассматриваемая задача относится к классу задач целочисленного программирования, для решения которых существуют свои методы (например, метод отсечения, метод ветвей и границ и др.). Применение метода множителей Лагранжа в данном конкретном случае оправдано тем, что в результате получены целые числа.

Ответ:

5. Дана функция спроса на некоторый товар . При какой цене p коэффициент эластичности спроса по цене равен -0.5?

Решение: Коэффициент эластичности спроса по цене определяется как .

Тогда . А так как , то отсюда .

Ответ:

§2. Задачи теории производства:

1. Цена меди на мировом рынке составляет $0.75 за фунт. Ежегодно продается 750 единиц (млн. фунтов) меди. Ценовая эластичность спроса на медь равна . Найдите линейную функцию спроса на медь.

Решение: Пусть c - объем спроса на медь, p - ее цена, тогда (линейная функция спроса). Ценовая эластичность спроса на медь определяется как

А так как она равна -0.4, то . Получаем систему уравнений

Отсюда . Подставляя вместо p и c значения 0.75 и 750 соответственно, находим: .
Значит, .

Ответ:

7. В 1976 г. на Бразилию приходилось примерно мирового экспорта кофе. Когда заморозки уничтожили около 75% урожая кофе в Бразилии в 1976-1977 гг., цена зеленого кофе выросла на 400%. Какова была эластичность спроса на кофе?

Решение: Эластичность спроса по цене можно определить как отношение процентного изменения спроса на процентное изменение цены. Цена по условию выросла на 400%. Общий объем мирового экспорта кофе уменьшился. Тогда эластичность спроса по цене равна.

Ответ:

2. Функция спроса на вино , где K - доход, p - цена бутылки вина, c - количество бутылок вина. Пусть К=7500, р=30.

1. Если цена вина вырастет до 40, то каким должен стать доход, чтобы спрос на вино оставался прежним? При этом доходе и новой цене сколько бутылок вина будет куплено?

2. Чему равен эффект замены и эффект дохода при повышении цены на вино до 40?

Решение:

1. При К=7500, р=30 спрос на вино с=90. Если цена возрастет до 40, а спрос не изменится, то получаем уравнение 90=0.02К-80. Отсюда К=8500.

2. Из уравнения Слуцкого

3.

Эффект дохода . Общий эффект . Тогда эффект замены

Ответ:

1. .

2. Эффект замены =-0.2, эффект дохода =-1.8.

3. Потребитель тратит весь свой доход только на два товара - 1 и 2. Задана функция спроса потребителя на товар 1: , где K - доход, - цена товара 1. Пусть .

1. Определить, как изменится спрос на товар 1, если его цена упадет до 4 ден. ед.

2. Найдите эффект замены и эффект дохода в общем изменении спроса на товар 1.

Решение:

1. . При новой цене имеем . Тогда .

2. Из уравнения Слуцкого

Эффект дохода . Общий эффект . Тогда эффект замены

Ответ:

1. .

2. Эффект замены =-15, эффект дохода =-10.

4. Функция полезности имеет вид . Цена товара 1 равна 2, цена товара 2 равна 1. Доход потребителя равен 140. Определить оптимальный план потребления.

Решение: Уравнение бюджетной линии . Кривая безразличия изображена на рисунке. Так как наклон прямой не совпадает ни с наклоном прямой , ни с наклоном прямой , то оптимальным планом потребления будет точка , лежащая на прямой .

Получаем систему

Отсюда

Ответ:

5. Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров. Функция полезности для него имеет вид . Потребитель покупает 15 ед. первого товара и 10 ед. второго товара. Цена товара 1 равна $10. Найдите доход потребителя. Каков наклон бюджетного ограничения в точке ?

Решение: Обозначим через p цену товара 2, через K - доход потребителя. Тогда бюджетная линия имеет вид . Оптимальный набор (15,10) является точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия. Найдем значение функции полезности в точке (15,10): , причем кривая безразличия в этой точке задается прямой . А так как точка (15,10) должна быть точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия, то прямые и должны совпадать. Значит p=5, K=200. Наклон бюджетной линии в точке (15,10) определяется как .

Ответ: K=200. Наклон =-2

Заключение

1. Математически задача потребительского выбора представляется как оптимизационная модель, в которой формализованы понятия товара, цели потребления товаров, цены, бюджета и покупательской способности потребителя. В результате получается задача максимизации функции полезности при бюджетных ограничениях, оптимальное решение которой трактуется как спрос потребителя на товары. Оно показывает, что потребитель получит максимальную полезность при условии одинаковости для всех товаров предельной полезности денег.

2. Функция полезности, выступающая как целевая функция в задаче потребителя, отражает его индивидуальное предпочтение в пространстве товаров. Существует большое разнообразие таких функций. В случае их дифференцируемости задачу можно решить методом множителей Лагранжа. Линия уровня функции полезности, называемая кривой безразличия, наглядно отражает на графике предпочтения потребительского выбора. С помощью функции полезности и предельного анализа можно исследовать предельную полезность различных товаров.

3. Спрос, вычисляемый как оптимальное решение задачи потребителя, в общем случае является функцией от цен и дохода. Если функция спроса обладает свойством однородности нулевой степени, то спрос инвариантен пропорциональным изменениям цен и дохода. При такой функции спроса объем потребления зависит от системных цен и реального дохода. С помощью функции спроса и предельного анализа можно исследовать эластичность спроса по цене и доходу.

4. Для вычисления предельного спроса и предельной полезности денег по ценам и доходу (то есть показателей сравнительной статики), которые применяются для оценки различных ситуаций в сфере потребления, выводится основное матричное уравнение теории полезности. Решая это уравнение получаем соотношение для показателей сравнительной статики, называемое основным уравнением теории ценности (уравнение Слуцкого). Оно отражает хорошо известное в экономической теории разделение общего эффекта (воздействие цены на спрос) на эффект замещения и на эффект дохода. С помощью уравнения Слуцкого можно классифицировать товары, анализировать их свойства и получить полезные для практики потребления выводы.

Литература:

Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 1984, Интриллигатор М.

Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.: Прогресс, 1975].

Карлин С. Математические методы в теории игр, программирование и экономика. – М.: Мир, 1964,

Экланд И. Элементы математической экономики. – М.: Мир, 1983, Хикс Дж. Стоимость и капитал. – М.: Прогресс-Универс, 1993].

Аллен Р. Математическая экономика- – М. Ил, 1963, Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: ДИС, 1997,

Ланкастер К. Математическая экономика. – М.: Сов. радио, 1972]. Математическая экономика на персоональном компьютере (под. ред. Кубонивы М.). – М.: ФиС, 1991].

Колесников А. Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 1997, Губин Н. М., Добронравов А.С., Дорохов Б. С.

Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении в отрасли связи. – М.: Ридио и связь, 1993].