Уравнение Слуцкого

Основное матричное уравнение (3.6.9) можно записать следующим образом:

(3.7.1)

Решение этой системы относительно показателей сравнительной статики по спросу имеет вид:

(3.7.2)

(3.7.3)

(3.7.4)

Здесь - обратная матрица Гессе, а

- скалярная величина. Можно показать, что

поэтому скаляр можно интерпретировать как коэффициент убывания предельной полезности денег.

Сравнивая (3.7.3) и (3.7.4) замечаем, что

Сопоставляя это уравнение с (3.7.2), получаем,

(3.7.5)

Равенство (3.7.5) называется уравнением Слуцкого. Это же уравнение называют основным уравнением теории ценности.

В координатной форме уравнение Слуцкого выглядит так:

(3.7.6)

Левую часть уравнения принято называть общим эффектом (от влияния цены на спрос), первое слагаемое в правой части - влиянием замены (т.е. компенсированного изменения цены на спрос), второе слагаемое - влиянием дохода (влияние изменения дохода на спрос). Перепишем уравнение следующим образом:

(3.7.7)

Из (3.7.4) следует, что матрица влияния замены симметрична и отрицательно определена (установите это самостоятельно). Из отрицательной определенности следует

(3.7.8)

Отсюда вывод - компенсированное возрастание цены товара приводит к уменьшению спроса на этот товар.

Их симметричности матрицы влияния замены и уравнения (3.7.7) получаем:

Поэтому уравнение Слуцкого, в частности, означает, что:

(3.7.9)

Здесь производная называется влиянием на спрос (на j -й товар) изменения частной цены (цены j -го товара). Равенство (3.7.9) используют для характеристики типов товаров.

Определение 3.4. Товар вида j называется нормальным, если ; товаром Гиффина, если ; ценным, если ; малоценным, если . Два товара i и j являются взаимозаменяемыми, если взаимодополняемыми, если

Как следует из (3.7.8) и (3.7.9), должно быть

С учетом условия приходим к следующим выводам:

а) если , то обязательно ;

б) если , то обязательно .

Отсюда, товар Гиффина не может быть ценным, т.е. он обязательно малоценный.

В общем случае каждый товар попадает в одну из следующих категорий.

1. Нормальный и ценный (; );

2. Нормальный и малоценный (; );

3. Товар Гиффина и малоценный (; ).

Существование товара Гиффина кажется не вполне реальным. Действительно, его определение противоречит закону о спросе (спрос есть убывающая функция цены). Однако, когда какой-либо популярный среди населения товар продается по слишком низкой цене, появляется подозрение о его качестве. Это может оказаться причиной снижения спроса на него. Последующее же поднятие цены может повысить спрос на этот товар.

Нормальный и ценный товар отличается от нормального малоценного товара высоким качеством. Например, фрукты южных сортов по питательным и вкусовым качествам превосходят северные сорта, но они и дороже; масло дороже маргарина, так как качество его выше; вычислительная техника завода-изготовителя, как правило, качественнее и поэтому дороже, чем та же техника, но лицензионной сборки и т.д.).

Умножим обе части равенства (3.7.4) на вектор p:

Следовательно, в координатной форме имеем:

(3.7.10)

Принимая во внимание положительность всех цен и неравенство (3.7.8), приходим к выводу о том, что для каждого j существует i такое, что

Таким образом, в наборе каждому товару соответствует по крайней мере один такой товар, который составляет с ним взаимозаменяемую пару.

Из уравнения Слуцкого (3.7.5) и равенства (3.7.10) получаем

или

Запишем это равенство в координатной форме

и разделим обе части каждого из n равенств на :

В обозначениях эластичности (см. (3.3.2), (3.5.4)) имеем:

Отсюда вывод: для каждого товара j сумма всех n перекрестных эластичностей спроса по цене и эластичности спроса по доходу должна быть равна нулю, т.е. сумма всех эластичностей по цене равна отрицательной эластичности по доходу.

Умножая (3.7.2) на вектор цен p, получим

(условие агрегации Энгеля). В координатной форме имеем:

(3.7.11)

Отсюда должно быть для некоторого j=1,...,n. Следовательно, в наборе все товары одновременно не могут быть малоценными.

С учетом (3.7.10) и (3.7.11) из уравнения Слуцкого можно получить (убедитесь в этом самостоятельно)

(условие агрегации Курно). В координатной форме имеем:

Отсюда вывод: значение спроса на товар вида i равно отрицательной взвешенной сумме изменений спроса на все товары по отношению к цене товара i, в которой в качестве весов выступают цены товаров.

Изучая уравнение Слуцкого можно получить и другие выводы по интересующим исследователя проблемам теории ценности и потребления.

В завершение параграфа приведем геометрическую интерпретацию изложенного выше материала для n=2 (рис. 3.15). Пусть возрастает до , а - решение задачи потребителя для параметров , , K. Тогда лежит в пересечении бюджетной линии, проходящей через точки и

Рис. 3.15. Геометрическая иллюстрация уравнения Слуцкого

с кривой безразличия . Общий эффект изменения выражается отрезком .

Точка лежит левее (т.к. из-за ), т.е. при возрастании цены первого товара спрос на него снизился. Следовательно, товар 1 нормален . Предположим теперь, что происходит компенсированное увеличение цены до . Через обозначим соответствующее компенсированное изменение (увеличение) дохода, т.е.

Геометрически бюджетная линия изменится (пройдет через , ), а точка будет лежать в пересечении этой бюджетной линии с кривой безразличия (по определению компенсированного изменения цены ).

Так как бюджетная линия параллельна бюджетной линии (один и тот же наклон ), то точка будет лежать левее точки . Это подтверждение того, что влияние замены отрицательно. Влияние замены () выражается отрезком , а влияние дохода () выражается отрезком . Точка лежит левее точки , т.е. при возрастании дохода (от K до ) спрос на товар 1 увеличился. Следовательно, товар 1 является ценным ().