Предельный анализ и понятие эластичности в теории потребления

В экономической теории и практике широко оперируют так называемыми суммарными (или абсолютными) и средними (или относительными) величинами различных показателей и факторов: объема потребления, дохода, цены товара, спроса, прибыли, производительности труда, издержек, предложения и т.д. Смысл суммарных и средних величин ясен без всякого дополнительного пояснения. Наряду с ними в равной (или даже в большей) степени важны и предельные величины.

Насколько возрастает спрос, если предпринять сезонное снижение цен на 10%? Как изменится производительность труда фирмы при сокращении рабочего дня на 0,5 часов, а зарплаты на 5%? Изменится ли прибыль предприятия (если да, то насколько) при приеме на работу дополнительного рабочего? От какого количества товара одного вида готов отказаться потребитель, чтобы получить одну дополнительную единицу другого товара? Такого рода вопросы, связанные с анализом дополнительного эффекта при дополнительных затратах, возникают во всех сферах экономики. Оперируя только суммарными и средними величинами, нельзя на них ответить. На них можно ответить как раз с помощью предельных величин, определяемых математически с помощью производных соответствующих функций.

Применение в экономике дифференциального исчисления и изучение его результатов называется предельным анализом.

Заметим, что дифференциальное исчисление оперирует непрерывно определенными (не дискретными) бесконечно малыми величинами, поэтому приведенные выше термины "дополнительных единиц" здесь являются условными.

В этом параграфе речь пойдет о предельных величинах, касающихся только сферы потребления.

Рассмотрим произвольный набор товаров Если полезность от x_i обозначить через , то суммарная полезность набора х есть

Среднюю полезность набора х схематично можно определить как вектор

где - средняя полезность товара вида i, то есть полезность, приходящаяся на единицу товара i. Понятие предельной полезности набора х

мы уже рассматривали в предыдущем параграфе. Вычисляя частное производное , можно получить ответ на вопрос: как себя поведет полезность при изменении объема потребления того или иного товара. Полезность товара растет, пока справедливо условие (1). Если с ростом потребления товара неравенство (1) переходит в обратное, то очевидно, нет смысла и дальше увеличивать его потребление. Поэтому представляет интерес случай, когда . К этому вопросу мы вернемся в следующем параграфе при выявлении оптимальных объемов потребления товара.

Сравнивая среднюю и предельную полезности, можно обнаружить тенденцию средней полезности "стремиться" к предельной полезности. А именно, среднее значение полезности возрастает (при возрастании потребления), если оно ниже предельной полезности; среднее значение полезности остается постоянным (при изменении потребления), если оно равно значению предельной полезности; среднее значение полезности убывает (при возрастании потребления), если оно превосходит предельную полезность.

Сравним среднюю и предельную полезности для разных функций полезности из предыдущего параграфа.

Средняя полезность набора товаров, обладающего свойством замещения (см. (3)), равна

где b_i – средняя полезность товара вида i. Предельная полезность есть

Следовательно, для функции (3) средняя и предельная полезности совпадают. Этот факт является следствием линейности функции u. Подтверждением служит функция полезности для взаимодополняющих друг друга товаров (см. (4)):

Для функции Кобба-Дугласа (3.2.8), полагая для простоты n=2, имеем:

С учетом условия ясно, что предельная полезность пропорциональна средней и всегда меньше ее.

Читателю предлагается самостоятельно провести сравнительный анализ средней и предельной полезностей для функций (3.2.9) - (3.2.12).

Предельную величину, как и среднюю, можно считать относительной величиной. Пусть значение некоторой переменной z изменилась от z₁ до z₂. Разницу называют абсолютным изменением z, а отношение - относительным изменением z (изменение, приходящееся на одну единицу исходной величины). В отличие от абсолютного относительное изменение есть величина безымянная. Число называется процентным изменением z.

При помощи предельных величин можно формализовать понятие эластичности, играющую важную роль при анализе взаимосвязи между экономическими показателями и факторами.

Эластичность (коэффициент эластичности) является численной оценкой относительного изменения экономического показателя под действием относительного изменения некоторого экономического фактора при неизменности других влияющих на этот показатель факторов. Таким образом, эластичность показателя - это его чувствительность к изменению влияющего на него фактора.

Возникает естественный вопрос: зачем нужно вводить сложное понятие "эластичность", когда те же изменения можно описать предельными величинами? Как то: изменение полезности от объема потребления товара , изменение предложения (y_i) от его цены - и т.д. Дело в том, что предельные величины, (как и средние) зависят от единицы измерения. Например, величина в кг./руб. есть одно число, а та же величина в тонна/руб. - другое. Такая неоднозначность приводит к техническим неудобствам. Эта проблема снимается, если чувствительность экономического показателя измеряется эластичностью, так как последняя определена как безымянная величина.

Пусть имеется некоторый экономический показатель z, зависящий от ряда факторов , то есть . Эластичность показателя z по y_i обозначим и выведем общую формулу для ее вычисления.

По определению эластичности

(3.3.1)

Переходя к пределу в правой части при , получим

(3.3.2)

Рис. 3.2. Схема вычисления эластичности в точке А

Видим, что "эластичность z по y_i " вычисляется как произведение "предельной величины z по y_i " на "среднюю величину y_i по z ".

Умножая числитель и знаменатель дроби (3.3.1) на 100%, получим

(3.3.3)

Отсюда, эластичность z по y_i есть отношение процентного изменения z на процентное изменение y_i.

Интересно узнать, насколько процентов изменится z, если y_i изменится на 1%? Иначе говоря, нужно найти процентное изменение z при процентном изменении y_i, равном единице, то есть . Тогда из (3.3.3) сразу получаем искомое процентное изменение:

Отсюда, эластичность z по y_i есть процентное изменение показателя z при изменении фактора y_i на 1%.

Как видно из (3.3.2), знак эластичности в каждой точке y зависит от знаков и . Предположим для простоты, что . Тогда, если z возрастает по y_i (в точке y), тогда и эластичность положительна; если z убывает по y_i, тогд а и эластичность отрицательна. В этом смысле представляет интерес случай, когда , анализ которого и его содержательную интерпретацию мы оставим читателю.

Пороговым значением для эластичности является число 1. Для объяснения этого рассмотрим графическое изображение эластичности функции спроса (с) на один товар, зависящей только от его цены: c=c(p). Известно, что спрос является убывающей функцией цены. Вычислим эластичность в произвольной точке A(p,c) графика функции c=c(p) (рис. 3.2). Пресечение касательной в точке А с осями координат обозначим через Е и N. По определению

Выразим правую часть равенства через элементы графика. Из

имеем

(здесь знак минус показывает убывание функции с в точке А). Из подобия треугольников ABE и ADN имеем:

Следовательно,

(3.3.4)

Можно показать, что для возрастающей функции (напр., предложения, как функции от цены) эластичность по абсолютной величине также будет равна отношению AN/AE. Потому в общем случае эластичность следует оценивать по ее абсолютной величине. Эта величина равна 1, если в (3.3.4) числитель равен знаменателю; больше 1, если числитель больше знаменателя и меньше 1 - если числитель меньше знаменателя. Это говорит о том, что эластичность зависит от кривизны графика функции z в рассматриваемой точке.

Если , то функция z называется эластичной (по y_i); если , то функция z называется неэластичной (по y_i); если , то говорят, что функция z имеет единичную эластичность (по y_i).

Относительно спроса различают товары эластичного спроса и товары неэластичного спроса. Для товаров первого вида повышению цены на 1% соответствует понижение спроса более, чем на 1% и, наоборот, понижение цены на 1% приводит к росту покупок более, чем на 1% (). Для товаров второго вида повышение цены на 1% влечет за собой понижение спроса менее, чем на 1% и, наоборот, уменьшение цены на 1% приводит к росту покупок менее чем на 1% (). К этому вопросу мы еще раз вернемся в § 3.5 после формализации понятия спроса.

Вычислим эластичность некоторых из функций полезности приведенных в § 3.2 (для простоты будем полагать n=2).

Рис. 3.3. Замещение наборов товаров.

Для функции с полным взаимозамещением благ (3)

Например, в точке получаем:

Видим, что в точке полезность в целом неэластична; при этом неэластичность по второму товару "выше", чем по первому товару. Более детальный анализ эластичности функции (3) оставляем читателю.

Для функции Кобба-Дугласа (3.2.8) имеем:

Итак, параметры b₁ и b₂ в функции Кобба-Дугласа как раз являются коэффициентами эластичности по видам товаров; они постоянны, то есть не зависят от объема потребления. Поэтому функция Кобба-Дугласа относится к классу функций полезности с постоянной эластичностью (вернее, неэластичностью, так как ).

В завершение параграфа рассмотрим еще одно понятие, определяемое с помощью дифференцирования.

Предположим, что имеется шесть наборов товаров

с одинаковой полезности, то есть . Пусть первый вид товара (i=1) - продукт питания, второй (i=2) -одежда. Эти точки лежат на одной кривой безразличия u(x)=c (рис.3.3). Как видно из графика, замена набора x¹ набором x² требует отказа от 6 единиц одежды взамен на одну единицу продукта питания; замена x² на x³ - отказа от 4 единиц одежды ради одной единицы продукта питания и т.д. Чтобы количественно определить объем некоторого товара, которым потребитель готов пожертвовать ради другого товара, используют меру, называемую предельной нормой замещения. Более точно, предельная норма замещения показывает, на сколько единиц нужно уменьшить (увеличить) количество одного товара при увеличении (уменьшении) другого товара на единицу, чтобы при этом полезность осталась неизменной.

Обозначим предельную норму замещения i-го товара j-м товаром через S_ij и выведем формулу для ее вычисления.

Пусть при уменьшении потребления j-го товара на величину для поддержания прежнего уровня полезности необходимо увеличить потребление i-го товара на величину :

(3.3.5)

где . По определению предельной нормы замещения

(3.3.6)

Из (3.3.5) получаем

(3.3.7)

Для полного приращения функции u в математическом анализе существует формула:

(3.3.8)

где -частные дифференциалы, а таково, что

(3.3.9)

Выражение

есть полный дифференциал функции u. Из (3.3.7)-(3.3.9) с учетом того, что для , имеем

Отсюда

из (3.3.6) получаем окончательно

(3.3.10)

Следовательно, предельная норма замещения товаров выражается через отношение их предельных полезностей. Например, для функции Кобба-Дугласа (3.2.8) имеем:

Из закона об убывающей предельной полезности следует выпуклость кривых безразличия (не путать с вогнутостью функции u) (см. (2)). Поэтому при движении вниз вдоль кривой безразличия (рис. 3.3) S₁₂ убывает:

Этот факт в экономике называется законом убывающей предельной нормы замещения: при стремлении поддерживать неизменным уровень полезности путем замещения i-го товара j-м товаром, субъективное удовлетворение, получаемое от предельного потребления i-го товара, в сравнении с удовлетворением, получаемым от предельного потребления товара j, будет неуклонно уменьшаться.

Формы кривых безразличия показывают на разные степени желательности замены одного товара другим. Пусть кривые безразличия для двух различных потребителей относительно напитка (i=1) и сока (i=2) имеют следующий вид (рис. 3.4 и 3.5):

Рис. 3.4. Предпочтения первого Рис. 3.5. Предпочтения второго

потребителя потребителя

У первого потребителя (рис.3.4) низкая предельная норма замещения напитка соком - он готов отказаться от очень небольшого количества сока ради напитка . У второго потребителя (рис.3.5), наоборот, высокая предельная норма замещения напитка соком .

Предельная норма замещения применяется при изучении спроса (напр., что нужнее в данный момент для домашнего хозяйства, один диван или два кресла; насколько нужно жертвовать технической характеристикой автомобиля ради увеличения комфорта и т.д.). Формализацию понятия спроса, изучению его природы и свойств посвящены следующие параграфы этой главы.