Функция полезности как критерий оценки товаров

Отношение предпочтения, рассмотренное в предыдущем параграфе, является весьма неудобным инструментом изучения потребительского выбора. Оно является больше качественной категорией и не приспособлено для проведения количественных исследований. Поэтому нужен другой механизм, который, с одной стороны, был бы адекватен данному отношению предпочтения, то есть отражал бы все его основные свойства, с другой стороны, являлся бы численным индикатором отношения предпочтения. Таким механизмом и является функция полезности. С функцией работать удобнее, чем с отношением предпочтения, хотя последнее имеет и определенные преимущества. Если отношение предпочтения отражает "склонность" или "желание" потребителя, то функция полезности отражает понятие "выгодности" товаров. Полезность понимается как мера благосостояния и как критерий правильности принимаемых решений. Источником полезности является потребление товара. Термин "полезность" менее индивидуален, чем термин "предпочтение". Действительно, труднее угадать, что человеку хочется, чем определить, что ему полезней, так как факт " х полезнее у ", в отличии от " х предпочтительнее у ", можно оценить по числовой шкале.

Функция полезности должна быть построена с учетом всех тех объективных и субъективных условий, которые влияют на предпочтение потребителя. Например, полезность денег оценивается не только их покупательской способностью. Так, с большой степенью уверенности можно утверждать, что полезность десяти заработанных долларов больше, чем те же десяти долларов найденных случайно на улице. Для наркомана "полезность" набора товаров тем выше, чем больше в нем содержится героина, а для нормального человека - наоборот. При построении функции полезности все эти нюансы, связанные с понятием полезности, учитываются тем обстоятельством, что эта функция строится сугубо на основе отношения предпочтения, то есть каждому отношению предпочтения соответствует своя функция полезности.

Перейдем к строгим определениям.

Определение 1. Пусть в определено отношение предпочтения . Любая функция такая, что тогда и только тогда, когда x y, называется функцией полезности, соответствующей этому отношению предпочтения.

Если интересы потребителя ограничиваются множеством , то функция полезности определяется на этом множестве, .

В терминах функции полезности отношение безразличия задается равенством .

Всегда ли можно представить отношение предпочтения функцей полезности? Можно ли исходя из предпочтения найти функцию u, удовлетворяющую определению 3.1? Отвечая на этот вопрос приведем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 1. Для любого отношения предпочтения, определенного и непрерывного в , можно построить представляющую его (непрерывную) функцию полезности .

Оказывается, что для любого непрерывного отношения предпочтения можно построить целое семейство функций полезности. Этот факт сформулируем в виде следующего утверждения.

Теорема 2. Пусть - функция полезности, представляющая отношение предпочтения . Для любой строго возрастающей функции сложная функция (суперпозиция) является функцией полезности, так же представляющей это отношение предпочтения .

В качестве упражнения, для двух строго возрастающих функций и проверьте справедливость этой теоремы.

Заметим, что для потребителя все эти функции полезности равнозначны. Он не в состоянии отдать предпочтение одной из них перед множеством возможных других, так как все они отражают одно и то же отношение предпочтения. Различие этих функций касается различных "масштабов" измерения полезности и не является принципиальным.

Так как функция полезности должна быть адекватной отношению предпочтения, то для нее можно сформулировать свойства а₄), а₅), а₆). Например, в терминах функции полезности свойство ненасыщаемости читается так:

a^'₅) для любых неравенство влечет неравенство и неравенства влекут .

Из этого определения видно, что в случае ненасыщаемости функция u не достигает своего максимума на множестве Х: для любого найдется , который имеет большую полезность чем х.

Аналогом свойства а₆) является вогнутость функции полезности:

a^'₆) для любых .

Если в условии вогнутости имеет место строгое неравенство, то функция полезности называется строго вогнутой. В этом случае, как будет показано в § 3, выбор потребителя определяется однозначно.

Преимущество функции полезности против отношения предпочтения состоит, в частности, в том, что для анализа потребительского выбора можно использовать мощный аппарат дифференцирования.
Пусть функция полезности и дифференцируема и

(1)

Частная производная (1) называется предельной полезностью товара вида i. Это есть полезность, получаемая от "дополнительной" доли товара вида i:

Поэтому неравенство (1) можно интерпретировать так: для любого набора товаров возрастание потребления товара вида i при постоянном уровне потребления других товаров приводит к увеличению полезности. Таким образом, (1) - это условие ненасыщаемости, написанное для дифференцируемой функции полезности. Забегая вперед скажем, что именно предельная полезность товара является определяющим цену товара фактором. Здесь нет противоречия с рыночным механизмом ценообразования, так как при прочих фиксированных условиях спрос на товар определяется его полезностью.

Предположим теперь, что функция u дважды дифференцируема и имеет непрерывные вторые частные производные. Для такой функции свойство строгой вогнутости выполнено, если матрица Гессе

отрицательно определена. Тогда, в частности, выполнены условия:

(2)

Это неравенство говорит о том, что предельная полезность товара уменьшается по мере того, как продукт потребляется. Неравенство (1) и (2) отражают хорошо известный в экономической теории закон об убывающей предельной полезности (закон Госсена).

С понятием функции полезности неразрывно связано понятие кривых безразличия, имеющее широкое применение в математической теории потребления.

Определение 3.2. Кривой безразличия для данного набора товаров называется геометрическое место точек , которые находятся в отношении безразличия с этим набором х, то есть множество .

Так как для всех точек из этого множества полезность одна и та же, то кривые безразличия задаются уравнениями , где с - любая const. Таким образом, кривая безразличия математически представляется как линия уровня функции полезности. Поэтому для любой функции полезности существует бесконечное множество кривых безразличия (для разных const) и они заполняют все пространство , образуя так называемую карту безразличия.

Приведем примеры некоторых, наиболее часто применяемых функций полезности и виды их карт безразличия. Эти функции, как показала практика, при определенных условиях достаточно объективно отражают предпочтение потребительского выбора.

1. Функция полезности с полным взаимозамещением благ:

(3)

где коэффициент является числовой оценкой полезности от потребления единицы товара вида i. Для построения кривых безразличия функции (3) в из уравнения найдем

При постоянных и это есть семейство (по параметру с) параллельных прямых с углом наклона . Карта кривых безразличия функции (3) приведена на рис. 3.1.а.

Функция (3) учитывает возможность компенсации уменьшения потребления одних товаров другими.

Пример 3. Пусть товаром первого вида является кофе, второго – чай, а потребление этих продуктов в количествах и дает полезность, равную c, то есть .

Представим, что потребление кофе уменьшилось на единиц. Тогда полезность упадет до уровня . Чтобы компенсировать эту потерю полезности надо увеличить потребление чая на величину так, чтобы

Отсюда найдем . В результате имеем:

Таким образом, функция (3) позволяет определить размер замещения одних товаров другими для того, чтобы полезность оставалась на неизменном уровне.

Рис. 1. Примеры карт безразличия

2. Функция полезности с полным взаимодополнением благ:

(4)

где - количество товара вида i, приходящееся на единицу полезности. Для построения кривых безразличия функции (4) в из уравнения

найдем

, если , (3.2.5)

, если , (3.2.6)

, если , (3.2.7)

Отсюда видно, что карту безразличия функции (4) составляют одна линия, проходящая через начало координат и два семейства (по параметру с) линий, параллельных осям координат (рис. 3.1. b.).

Функция (4) учитывает возможность дополнения одних товаров другими.

Пример 4. Приобретается набор из двух товаров: кофе в количестве и сахар в количестве c. Потребление этих товаров дает полезность, равную с, то есть

В случае (3.2.5)

и увеличение (уменьшение) потребления кофе влечет увеличения (уменьшения) сахара.

В случае (3.2.6) увеличение потребления кофе может привести к нарушению неравенства в (3.2.6) и, следовательно, к нарушению уровня полезности, если не увеличиться потребление сахара.

Анализ случая (3.2.7) предлагается читателю провести самостоятельно.

Как показывает пример 3.4, функция (4) применяется для определения полезности набора взаимодополняющих друг друга товаров.

3. Неоклассическая функция полезности (функция Кобба-Дугласа):

(3.2.8)

где а - фактор шкалы измерения полезности, . Для построения кривых безразличия функции (3.2.8) в из уравнения найдем

то есть карту безразличия составляет семейство (по параметру с) гипербол, показанных на рис.3.1.с.

В приведенных примерах функции (3) и (3.2.8) заданы явным образом, а функция (4) находится как решение системы неравенств .

Приведем без комментариев еще несколько видов функции полезности.

4. Функция полезности замещающе-дополняющего типа:

(3.2.9)

где функции находятся из системы неравенств

5. Квадратичная функция полезности:

(3.2.10)

где -транспонированный вектор х, В - отрицательно определенная -матрица.

6.Логарифмическая функция полезности (функция Бернулли):

(3.2.11)

где

7. Экспоненциальная функция полезности:

(3.2.12)

где

Читателю, в качестве упражнения, предлагается построить карты безразличия функций (3.2.9) - (3.2.12) в

Мы перечислили только некоторые из применяемых в теории потребления функций полезности. Список таких "готовых" функций можно продолжить. Однако здесь уместно повторить то, что говорилось ранее о математических моделях в целом - нельзя гарантировать пригодность известных функций для каждого конкретного случая. При моделировании задачи потребителя как раз самым уязвимым местом является функция полезности, адекватно отражающая предпочтения индивидуального потребителя. Поэтому часто требуется не выбрать, а построить для данной конкретной задачи свою функцию полезности. Один из методов приближенного построения функции полезности, использующей понятие предельной нормы замещения (см. (3.4.9)), будет показан в конце § 3.4.

Наиболее общими для построения функций полезности являются методы регрессионного анализа, которые применимы при наличии подходящего статистического материала. Для выбранного вида функции полезности на основе этих данных оцениваются ее коэффициенты (параметры). Сложность метода зависит от класса функций (линейных, квадратичных, степенных и др.), в котором ищется функция полезности. Читатель без труда может восстановить алгоритм этого метода применительно к функции полезности.