Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями

Мы рассмотрели частный случай дисперсионного анализа классификации по двум признакам: в ячейке одно наблюдение, взаимодействие между факторами отсутствует. В общем случае в ячейке может быть несколько наблюдений (причем как равное количество, так и неравное), между факторами может иметь место взаимодействие. Лучше, когда в ячейке равное количество наблюдений вычисления при этом упрощаются.

Для общего случая двухфакторного анализа одно наблюдение но представить в виде

,

где – общая средняя; – эффект, обусловленный влиянием i -го уровня фактора A; – эффект, обусловленный влиянием j -го уровня фактора В; – эффект взаимодействия факторов А и В; – вариация внутри отдельной ячейки.

Основное тождество двухфакторного дисперсионного анализа с одинаковым количеством наблюдений в ячейке (n) имеет вид

Здесь и имеют то же значение, что и в формуле (5); – сумма квадратов, оценивающая взаимодействие факторов А и В; – сумма квадратов, оценивающая вариацию внутри ячейки.

Порядок проведения дисперсионного анализа в этом случае такой же, как и прежде: сначала вычисляют суммы квадратов, оценки дисперсий, затем отношение дисперсий F сравнивают с табличным.

Схема анализа и порядок вычисления сумм приведены в табл. 12.

Таблица 12

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Оценки дисперсий
Между средними по строкам (по фактору А)
Между средними по столбцам (по фактору В)
Взаимодействие
Остаточная
Полная сумма квадратов

Как видно из таблицы, в схеме анализа появляется новая сумма квадратов и несколько меняется структура суммы (вместо берется ). Появление суммы обусловлено наличием нескольких наблюдений в ячейке. В предыдущей схеме эта сумма отсутствовала, так как при одном наблюдении в ячейке разность равна нулю. Сумма характеризует влияние прочих случайных факторов (кроме факторов А, В и их взаимодействия), поэтому для определения значимости влияния факторов А и В величину дисперсии, обусловленную влиянием этих факторов, сравнивают с дисперсией, обусловленной влиянием прочих факторов. При этом вычисляют следующие отношения дисперсий: . Вычисленные значения сравнивают с табличными значениями (см. приложение 1), которые получены для заданного уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы. Если , влияние рассматриваемого фактора считается незначимым.

Рассмотрим пример построения двухфакторного комплекса по приведенной схеме.