Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений

Если на результативный признак влияет несколько факторов одновременно, то следует использовать многофакторный анализ. Дисперсионный анализ в этом случае имеет свои особенности, так как необходимо учитывать взаимодействия между факторами.

Рассмотрим задачу оценки влияния двух одновременно действующих факторов. Предположим, что имеется несколько однотипных агрегатов и несколько видов сырья. Требуется выяснить, значимо ли влияние различных агрегатов и качества сырья в партиях на качество получаемых изделий. Это типичная задача двухфакторного дисперсионного анализа.

Считаем, что предпосылки дисперсионного анализа выполнены. Пусть фактор А – влияние настройки агрегата, фактор В – влияние качества сырья. Имеем r агрегатов, следовательно, r уровней фактора А, и v партий сырья, следовательно, v уровней фактора В. Матрицу наблюдений можно представить в виде табл. 8.

Таблица 8.

Агрегаты i	Партии сырья j

Пересечение i -го уровня фактора А с j -м уровнем фактора В образует ij -ю ячейку, в которую записывают наблюдения, полученные при одновременном исследовании факторов А и В на i -м и j -м уровнях.

Для простоты можно предположить, что в ячейке содержится только одно наблюдение . Предположим также, что между факторами А и В нет взаимодействия и что на i -м уровне фактора А наблюдения имеют среднюю , а на j -м уровне фактора В наблюдения – среднюю . Тогда одно наблюдение можно представить в виде

, (4)

где – общая средняя; – эффект, обусловленный влиянием i -го уровня фактора A; эффект, обусловленный влиянием j -го уровня фактора В; – вариация результатов внутри отдельной ячейки (в случае одного наблюдения вариация равна нулю).

Оценками являются соответственно общая средняя и средние по уровням .

Оценки общей дисперсии можно получить из основного тождества дисперсионного анализа. В двухфакторном дисперсионном анализе общая сумма квадратов отклонений от общей средней раскладывается согласно формуле (4) уже не на две, а на три части: часть общей суммы квадратов, обусловленную влияем фактора А, часть, обусловленную влиянием фактора В, и часть, обусловленную влиянием неучтенных факторов. С помощью дисперсионных отношений можно выяснить, насколько, существенно влияние каждой из этих частей.

(5)

Слагаемое представляет собой сумму квадратов разностей между средними по строкам и общим средним и характеризует изменение признака по фактору А. Слагаемое представляет собой сумму квадратов разностей между средними по столбцам и общим средним и характеризует изменение признака по фактору В. Слагаемое называется остаточной суммой квадратов и характеризует влияние неучтенных факторов. Сумма SS называется общей или полной суммой квадратов отклонений отдельных наблюдений от общей средней. Оценки дисперсий:

,

, (6)

,

.

В двухфакторном анализе для выяснения значимости влияния факторов А и В на исследуемый признак сравнивают дисперсии по факторам с остаточной дисперсией. Вычисляют статистики с и степенями свободы и с и степенями свободы. Сравнение вычисленных статистик с табличными значениями и выводы о существенности влияния факторов производят так же, как и в однофакторном дисперсионном анализе. Двухфакторный дисперсионный анализ удобно представить в виде табл.

Таблица 9