Регрессия

Уравнением регрессии называется функция, описывающая зависимость условного среднего значения результативного признака у от заданных значений аргументов, т.е. .

Богатый опыт по подбору параметров уравнения регрессии показывает, что в реальных процессах зависимость результативного показателя (отклика системы) у от аргументов (факторов) хорошо описывается полиномом вида

Данный полином называют регрессионной зависимостью (уравнением регрессии), а коэффициенты – статистическими оценками коэффициентов регрессии. При этом – линейные коэффициенты, – нелинейные коэффициенты, – коэффициенты, учитывающие взаимное влияние факторов.

Задача регрессионного анализа заключается в экспериментальном определении коэффициентов регрессии b путем наблюдения за характером изменения входных переменных (факторов) и выходной величины (результативного показателя).

Линейная модель уравнения регрессии строится с использованием следующей зависимости:

,

где – матреца-столбец коэффициентов регрессии;

– матрица входных переменных;

– матрица-столбец выходных переменных (результативного признака); k – число факторов; n – число параллельных опытов.

Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помощью t -критерия, основанного на статистике:

,

где – дисперсия коэффициента ; – несмещенная оценка остаточной дисперсии; – элементы обратной матрицы, стоящие на главной диагонали.

Статистика при выполнении гипотезы имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы . По уровню значимости и числу степеней свободы f определяют . Если , нулевую гипотезу отклоняют и принимают гипотезу, что значимы.

Доверительные интервалы для значимых коэффициентов регрессии строятся по зависимости

,

находят с помощью таблицы распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости и числу степеней свободы .

При необходимости строят доверительный интервал для результативного показателя

.

При проведении регрессионного анализа рассчитываются показатели так называемой регрессионной статистики:

множественный коэффициент корреляции

,

– определитель корреляционной матрицы; – алгебраическое дополнение элемента корреляционной матрицы ;

квадрат множественного коэффициента корреляции (коэффициент детерминации) :

нормированный .

стандартную ошибку

,

где .

Для исходных данных задачи проводится однофакторный дисперсионный анализ, при этом рассчитываются:

сумма квадратов регрессии с числом степеней свободы k;

сумма квадратов остатков с числом степеней свободы ;

сумма квадратов общая с числом степеней ;

дисперсии ;

расчетное значение F -критерия ;

значимость F определяется также как при рассмотрении двухвыборочного F- теста для дисперсий;

Р – значение определяется также, как при рассмотрении парного двухвыборочного t – теста для средних (вероятность значимости).

Расчетное значение сравнивается с , определяемого по таблице критических точек распределения Фишера. При этом проверяется гипотеза , где .

Если , гипотеза отвергается, т.е. хотя бы один коэффициент регрессии не равен нулю.