Связь функции распределения с плотностью распределения

8 вопрос. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание НСВ:

Дисперсия НСВ:

Для дисперсии НСВ справедлива формула:

σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]², где

Пример:

Задана интегральная функция распределения F(x) НСВ следующим образом:

Найти плотность распределения f(x), вероятность P(2<X<4), вычислить числовые характеристики распределения этой НСВ и построить графики F(x) и f(x)

Решение:

1. Плотность распределения (дифференциальную функцию) найдём как первую производную от интегральной функции:

2. P(2<X<4) можно найти либо как приращение функции распределения, либо через плотность f(x):

1 способ.

P(α<x<β) = F(β) – F(α)

P(2<x<4) = F(4) – F(2) =

2 способ.

3. По формуле найдём математическое ожидание НСВ

По формуле найдём дисперсию НСВ

Вычислим дисперсию по формуле σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]²,найдя вначале M(X²)

Теперь σ²=D(X)=18 – 4²= 2 кв. ед.

4. Графики интегральной функции F(x) и дифференциальной функции f(x) изображены на рисунках 1 и 2.