Вопрос. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами

Пусть случайная величина X принимает значения: x₁,x₂,..., x_n с вероятностями p₁, р₂,..., р_n, а случайная величина Y принимает значения у₁, у₂.., у_m с вероятностями q₁, q₂,..,q_m.

Определим некоторые операции над случайными величинами.

1. сХ: cx₁, cx₂,...,сх_n

2. X²: x₁²,x²₂,...,x_n²

3. X±Y: x_i±y_j (i=l,2,...,n; j=l,2,...,m)

p_i q_j

4. X*Y: x_i*y_j (i=l,2,...,n; j=l,2,...,m)

p_iq_j.

4 вопрос. Числовые характеристики ДСВ. Ожидаемое значение дискретной случайной величины.

Математическое ожидание ДСВ Х:

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1. М(с)=с

2. М(сХ)=сМ(Х)

3. M(X Y)=M(X) M(Y)

4. M(XY)=M(X)M(Y)

5. М(Х с)=М(Х) с

Следствие. М[Х-М(Х)]=0

6. М(Х)=М(Х_i).

5 вопрос. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение ДСВ. Свойства дисперсии.

Дисперсия ДСВ:

Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. D(c)=0

2.D(cX)=c²D(X)

3. D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4. Если X₁,X₂ ,..., X _n. - одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсии каждой из которых равны σ², то дисперсия их суммы равна n σ², а дисперсия средней арифметической равна σ²/n,т.е. D(X)=σ²/n

5. Упрощенная формула для вычисления дисперсии ДСВ: σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]², где

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) ДСВ равно корню квадратному из дисперсии:

6 вопрос Непрерывные случайные величины. Функция распределения НСВ.

Функция распределения F(x)

F(x) = Р(Х < х)

Свойства F(x)

1. 0 ≤ F(Х) ≤ 1

2. F(x₂)≥ F(x₁) е сли х₂ > x₁

Следствие 1. P(α<X<β) = F(β) – F(α)

3. F(X)=0 при Х ≤ α и F(X) = 1 при X>β.