E(e ) E(e1e2) ... E(e1en) s2 0 ... 0

E (ee¢) = E (e₂e₁) E (e )... E (e₂e_n) = 0 s ² ... 0

E (e_ne₁) E (e_ne₂)... E (e ) 0 0... s ²

Элементы, стоящие на главной диагонали, свидетельствуют о том, что E(e_i²) = s ² для всех i. Это означает, что все e_i имеют постоянную дисперсию s^{2 –} свойство, в связи с которым говорят о гомоскедастичности. Элементы, не стоящие на главной диагонали, дают нам E(e_te_t+s) = 0 для s ¹ 0, так что значения e_i попарно некоррелированы. Гипотеза (3.в), в силу которой матрица X образована из фиксированных (неслучайных) чисел, означает, что в повторяющихся выборочных наблюдениях единственным источником случайных возмущений вектора Y являются случайные возмущения вектора e, и поэтому свойства наших оценок и критериев обусловлены матрицей наблюдений X. Последнее предположение относительно матрицы X, ранг которой принимается равным k, означает, что число наблюдений превышает число параметров (иначе невозможна оценка этих параметров), и что не существует строгой зависимости между объясняющими переменными. Это соглашение простирается на все переменные X _j, включая переменную X _{0 ,} значение которой всегда равно единице, что соответствует первому столбцу матрицы X.

Оценка регрессионной модели с коэффициентами b₀, b₁,…,b_k, которые являются оценками неизвестных параметров b₀, b₁,…,b_k и наблюдаемыми ошибками e, которые являются оценками ненаблюдаемых e, может быть записана в матричной форме следующим образом

(3.4).

При использовании правил матричного сложения и умножения отношения между возможно большими массивами чисел могут быть записаны несколькими символами. Используя правило транспонирования: A¢ = транспонированной A, мы можем представить ряд других результатов. Система нормальных уравнений (для регрессии с любым числом переменных и наблюдений) в матричном формате записывается так:

Х¢Хb = Х¢Y (3.5).

Используя правило получения обратной матрицы: A^-1 = инверсия A, мы можем решить систему нормальных уравнений путем перемножения каждой стороны уравнения (3.5) с матрицей (Х¢Х)^-1:

(Х¢Х)^-1(Х¢Х)b = (Х¢Х)^-1X¢Y

Ib = (Х¢Х)^-1X¢Y

Где I – матрица идентификации (единичная матрица), являющаяся результатом умножения матрицы на обратную. Поскольку Ib=b, мы получаем решение нормальных уравнений в терминах метода наименьших квадратов для оценки вектора b:

b = (Х¢Х)^-1X¢Y (3.6).

Отсюда, для любого числа переменных и значений данных, мы получаем вектор параметров оценки, транспонирование которых есть b₀, b₁,…,b_k,, как результат матричных операций над уравнением (3.6).

Представим теперь и другие результаты. Предсказанное значение Y, которое мы обозначаем как , корреспондирует с наблюдаемыми значениями Y как: (3.7).

Поскольку b = (Х¢Х)^-1X¢Y, то мы можем записать подогнанные значения в терминах трансформации наблюдаемых значений:

(3.8).

Обозначив , можем записать .

Все матричные вычисления осуществляются в пакетах программ по регрессионному анализу.

Матрица ковариации коэффициентов оценки b задана как:

, это следует из того, что

Поскольку неизвестно и оценивается МНК, то мы имеем оценку ковариации матрицы b как: (3.9).

Если мы обозначим матрицу С как , то оценка стандартной ошибки каждого b_i есть

(3.10),

где С_ii – диагональ матрицы.