Метод Жордана-Гаусса

Каждой системе линейных уравнений поставим в соответствие расширенную матрицу , полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов:

Метод Жордана-Гаусса применяется для решения системы m линейных уравнений с n неизвестными вида:

.

Данный метод заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе уравнений с матрицей определенного вида.

Над строками расширенной матрицы осуществляем следующие элементарные преобразования:

1. перестановка двух строк;

2. умножение строки на любое число, отличное от нуля;

3. прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число;

4. отбрасывание нулевой строки (столбца).

Пример 2.11. Решить методом Жордана-Гаусса системы линейных уравнений:

а) Х₁ + Х₂ + 2Х₃ = -1

2Х₁ - Х₂ + 2Х₃ = -4

4Х₁ + Х₂ + 4Х₃ = -2

Решение: Составим расширенную матрицу

Итерация 1

В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на (-2) и (-4). Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

Итерация 2

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку соответственно на (-1) и на 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу:

Итерация 3

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим третью строку на (-2). Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку соответственно на (-4/3) и на (-2/3) и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу:

,

откуда Х ₁ = 1, Х ₂ = 2, Х ₃ = -2.

Закончив решение, на этапе обучения, необходимо выполнять проверку, подставив найденные значения в исходную систему, которая при этом должна обратиться в верные равенства.

б) Х₁ - Х₂ + Х₃ - Х₄ = 4

Х₁ + Х₂ + 2Х₃ +3Х₄ = 8

2Х₁ +4Х₂ + 5Х₃+10Х₄ = 20

2Х₁ - 4Х₂ + Х₃ - 6Х₄ = 4

Решение: Расширенная матрица имеет вид:

Применяя элементарные преобразования, получим:

,

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

Х₁-3Х₂-5Х₄=0

2Х₂+Х₃+4Х₄=4

Последние две строки матрицы A ⁽²⁾ являются линейно зависимыми.

Определение. Строки матрицы e ₁, e ₂,…, e_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0 =(0 0…0). Строки матрицы являются линейно независимыми, когда комбинация этих строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю.

В линейной алгебре очень важно понятие ранга матрицы, т.к. оно играет очень большое значение при решении систем линейных уравнений.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).

Ранг матрицы A ⁽²⁾ равен 2, т.к. в ней максимальное число линейно независимых строк равно 2 (это первые две строки матрицы).

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

В данном случае система имеет 4 переменных, а её ранг равен 2, следовательно, она имеет бесконечное множество решений.

Определение. Пусть r < n, r переменных x ₁, x ₂,…, x_r называются базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля. Остальные n-r переменных называются свободными.

Определение. Решение системы, в котором все n-r свободных переменных равны нулю, называется базисным.

Совместная система m линейных уравнений с n переменными (m<n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где .

В нашем случае , т.е. система имеет не более 6 базисных решений.

Общее решение имеет вид:

Х₁ = 3Х₂ +5Х₄

Х₃ = 4 - 2Х₂ - 4Х₄

Найдем базисные решения. Для этого полагаем Х₂ = 0, Х₄ = 0, тогда Х₁ =0, Х₃ = 4. Базисное решение имеет вид: (0,0,4,0).

Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных неизвестных примем Х₃ и Х₄. Выразим неизвестные Х₁ и Х₂ через неизвестные Х₃ и Х₄:

Х₁ = 6 - 3/2Х₂ - Х₄

Х₂ = 2 - 1/2Х₃ - 2Х₄

Тогда базисное решение имеет вид: (6,2,0,0).

Пример 2.12. Решить систему:

X₁+2X₂-X₃=7

2X₁-3X₂+X₃=3

4X₁+X₂-X₃=16

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0=–1, следовательно, данная система несовместна. Данный вывод можно также получить, если заметить, что ранг матрицы системы равен 2, тогда как ранг расширенной матрицы системы равен 3.