Размерность и базис векторного пространства

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если существуют такие действительные числа не все одновременно равные нулю, что имеет место равенство .

Введем два эквивалентных определения линейной зависимости векторов.

Определение. Система векторов (k > 1) пространства R _n называется линейно зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов. В противном случае система векторов называется линейно независимой.

Определение. Система векторов (k > 1) пространства R _n называется линейно зависимой, если существуют такие числа , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство: . В противном случае система векторов называется линейно независимой.

Пример 2.13. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой.

Решение. Найдем решение эквивалентного равенства

Задача сводится к решению однородной системы линейных уравнений:

относительно неизвестных .

Система имеет бесконечное множество решений. Поэтому система векторов является линейно зависимой.

Общее решение имеет вид: .

Подставим общее решение в векторное равенство

Полагая , получим: , откуда можно любой вектор выразить как линейную комбинацию остальных векторов. Например, или .

В пространстве R _n максимальное число линейно независимых векторов равно n. Любая система из n +1 вектора является линейно зависимой.

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов пространства R _n называется его базисом.

Например, базис пространства R _n образуют n – единичных векторов , причем i – я координата вектора e_i равна единице, а остальные координаты равны нулю. Данный базис принято называть естественным.

Пример 2.14. В естественном базисе заданы векторы =(1,1,0)^т, =(1,-1,1)^т, =(-3,5,-6)^т, =(4,-4,5)^т. Показать, что векторы образуют базис. Выразить вектор в базисе и найти связь между базисом и базисом .

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Решим векторное уравнение относительно неизвестных :

.

Решение данного уравнения единственное, а именно нулевое: . Следовательно, векторы образуют линейно независимую систему векторов и составляют базис.

Выразим связь между базисами и определим координаты вектора в новом базисе:

Выпишем для данных систем расширенную матрицу

Коэффициенты при неизвестных х_ij, х_j (i,j =1,3) в системах совпадают. Поэтому методом Жордана-Гаусса находим одновременно решение четырех систем. Все вычисления представим в виде следующей таблицы:

Базис
					-1	-3     -6	-4
	-1				-2	-3     -6	-8
	1/2   1/2   -1/2	1/2   -1/2   1/2				-4   -2
	1/4   3/2   1/4	3/4   -3/2   -1/4	1/2   -2   -1/2				1/2     -1/2

Матрицу А, составленную из координат векторов преобразуем в единичную матрицу Е, тогда на месте единичной матрицы Е получим обратную матрицу А ^-1. Матрица В преобразуется в матрицу А ^-1 В. Вектор в новом базисе выражается в виде следующей линейной комбинации векторов нового базиса :

Связь между старым и новым базисами выражается следующим образом:

Проверка: