Основные понятия и определения

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

где a_ij, b_i (i =1,2,…, m; j =1,2,…, n) — произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы линейных уравнений называется совокупность n чисел () таких, что при подстановке их вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система линейных уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно ее решение. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Совместные системы подразделяются на определенные, имеющие единственное решение, и неопределенные, имеющие бесконечное множество решений.

Запишем систему в матричной форме. Обозначим:

где A – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, X – матрица-столбец переменных; B – матрица-столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы X, то их произведение AX есть матрица-столбец. Элементами этой матрицы-столбца являются левые части системы. На основании определения равенства матриц систему можно записать в матричной форме:

AX=B.