 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Основные идеи количественной теории натуральных чисел
|
|
В количественной теории натуральное число с самого начала воспринимается как число элементов (мощность, численность) конечного множества.
Рассмотрим всевозможные конечные множества (говорят «класс, или семейство, множеств») и установим для них отношение эквивалентности следующим образом: два множества А и В будем называть эквивалентными (обозначается это через А~В), если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.
Установленное таким образом отношение множеств является отношением типа эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Для любых множеств А, В, С:
а) А~А; б) если А~В, то В~А; в) если А~В и В~С, то А~С.
Поэтому введенное отношение порождает разбиение данного семейства множеств на классы эквивалентности так, что любые два множества одного класса эквивалентны, а любые два множества различных классов неэквивалентны.
Эквивалентные множества не совпадают полностью, всеми своими свойствами: множество пальцев человеческой руки и множество, состоящее из пяти столов, различные, но эквивалентные множества.
Каждый класс эквивалентности характеризуется мощностью, т. е. любые два множества одного класса равномощны (имеют одинаковую мощность). Так как мы имеем дело лишь с конечными множествами, то равномощность означает равночисленность. Мощность, или класс, равночисленных конечных множеств и называют натуральным числом.
Таким образом, каждому конечному множеству Л приписывают в качестве характеристики натуральное число т(А), определяющее его принадлежность определенному классу эквивалентности. При этом множествам, принадлежащим одному классу эквивалентности, приписывается одно и то же натуральное число:
если А~В, то т(А)=т(В);
множествам, принадлежащим различным классам эквивалентности,— различные натуральные числа:
если А~В, то т (А)^т(В).
Так как А и В — конечные множества, то натуральные числа т(А) и т(В) обозначают числа элементов (численность) этих множеств.
В основе такой концепции натурального числа лежит абстракция отождествления: отношение эквивалентности множеств отождествляет множества, принадлежащие одному классу эквивалентности по их численности.
В результате этого отождествления от множеств, принадлежащих одному классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс, в виде самостоятельного понятия — натурального числа.
Название «количественная теория» связано с тем, что в этой теории натуральное число обозначает количество элементов множества.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 772 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
