Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Что такое величина
Величина — одно из основных математических понятий, возникшее в древности и подвергшееся в процессе длительного развития ряду обобщений.
Общее понятие величины является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объема, массы, скорости и т. п. Каждый конкретный род величин связан с определенным способом сравнения соответствующих свойств объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого не покрывая целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приемы, необходимые для сравнения площадей плоских фигур, объемов пространственных тел.
Для сравнения двух предметов по массе их взвешивают. Если чаши весов уравновешиваются, то предметы имеют одинаковую массу, если же чаши не уравновешены, то предмет, находящийся на той чаше, которая перетягивает, имеет большую массу, второй предмет — меньшую.
Понятия длины, площади, объема, массы могут быть обобщены на любой род величин: в системе всех однородных величин, т. е. всех длин, всех площадей, всех объемов, всех масс и т. д., устанавливается отношение порядка. Две величины а и Ь одного и того же рода или совпадают (а=Ь), или первая меньше второй (а<Ь), или вторая меньше первой (Ь<а).
Однородные величины можно также складывать. Например, если точка В лежит между точками А и С, то длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС (илл. 16, А).
Если плоская фигура состоит из двух частей, не имеющих других общих точек, кроме граничных, то площадь S всей фигуры равна сумме площадей S1+S2 этих частей (илл. 16, Б).
Если предмет состоит из двух частей, то его масса т равна сумме m\+ni2 масс т\ыгп2 этих частей.
Если пространственная фигура состоит из двух частей, все общие точки которых образуют их общую границу, то объем всей пространственной фигуры равен сумме 1+2 объемов Щ и i этих частей (илл. 16, В).
Так раскрывается смысл операции сложения для каждого рода величин (длин, площадей, объемов, масс и т.д.).
Исходя из смысла отношения меньше (<) и операции сложения однородных величин (+), можно убедиться в том, что любая система однородных величин (В, <, +) обладает перечисленными ниже свойствами.
3) Сложение величин, как и сложение чисел, обладает свойством переместительности (коммутативности): a+b=b+a для любых я, be В.
Например, безразлично — присоединить к отрезку АВ длины а отрезок ВС длины b или наоборот — мы все равно получим в результате один и тот же отрезок.
4) Сложение величин обладает свойством сочетательности (ассоциативности):
a+(b+c)=(a+b)+c для любых а, Ь, се В.
Например, если присоединить к отрезку АВ длины а отрезок BD длины Ь+с так, чтобы точка В лежала между точками А и D (илл. 18), то получим отрезок AD длины а+ф+с); если к отрезку АС длины а+b присоединить отрезок CD длины с, то получим отрезок AD, длина которого выражается через (а+Ь)+с; но так как мы получили один и тот же отрезок AD, то a+(b+c)=(a+b)+c. Поэтому можно писать без скобок а+Ь+с.
Илл. 18
5) Для любых a, be В, а+Ь>а (свойство монотонности сложения). Например, если точка Я лежит между точками А и С (илл. 18), то длина отрезка АС (а+b) больше длины отрезка АВ (а), или вообще «величина части меньше величины целого».
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 923 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!