 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Виды геометрических фигур
|
|
Будем рассматривать далее лишь те виды простейших геометрических фигур, с которыми приходится иметь дело в процессе обучения дошкольников.
Все геометрические фигуры делятся на плоские и пространственные. Так, например, квадрат, круг — плоские фигуры; куб, шар — пространственные. Начнем с рассмотрения линий. Под линией будем иметь в виду плоскую линию — линию, все точки которой лежат на некоторой плоскости, а сама линия есть подмножество точек плоскости.
Прямую линию, или просто прямую, можно выделить среди других линий с помощью ее характеристических свойств, т. е.
таких свойств, которыми обладает только прямая и никакие другие линии.
На илл. 8 между деревом и домом проложено несколько тропинок. На геометрическом языке это означает: через две точки D и С проходит несколько линий. Прямая выделяется среди них тем, что это — линия кратчайшего расстояния.
Еще одно характеристическое свойство прямой: через две точки D и С можно провести много различных линий, прямых — только одну, т. е. через две точки проходит одна и только одна прямая.
Линии бывают замкнутыми и незамкнутыми. Например, прямая — незамкнутая линия, окружность — замкнутая.
По отношению к прямой две точки могут находиться «по одну сторону» от нее или «по разные стороны». Например, если дом и дерево находятся по одну сторону от речки, можно дойти от дома до дерева или обратно, не проходя через мост. Если же они находятся по разным сторонам от реки, то дойти от дома до сада или обратно, не проходя через мост, нельзя.
На геометрическом языке эта ситуация описывается следующим образом. Две точки А и В находятся по одну сторону от прямой /, если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает прямую / (илл. 9).
Первые представления о внутри и вне закрепляются в играх с обручами, когда дети встречаются со все усложняющимися ситуациями: определение блоков внутри и вне одного обруча, внутри одного и вне другого обруча, внутри всех трех обручей, внутри двух обручей и вне третьего и т. п. Поэтому перед решением задач, связанных с классификацией блоков или фигур в играх с обручами, необходимо выяснить, распознают ли дети внутреннюю и внешнюю области по отношению к каждому обручу.
Переведем теперь эти ситуации на язык геометрии.
Интуитивно ясно, что всякая окружность разбивает множество всех не принадлежащих ей точек плоскости на две области (илл. 10). Если две точки А и В или D и Е лежат в одной области, то отрезок, соединяющий их, не пересекает линии /; если две точки, например С и D, принадлежат различным областям, то соединяющий их отрезок пересекает линию / (в точке К).
Илл. 10
Одна из этих областей называется внутренней, другая — внешней. Каким же геометрическим свойством можно охарактеризовать внутреннюю или внешнюю область?
Область, которая интуитивно принимается за внешнюю, обладает следующим свойством: можно найти в этой области две точки, например D и Е, такие, что прямая, проходящая через них, целиком лежит в этой области. Вторая область, которая интуитивно принимается за внутреннюю, не обладает этим свойством или характеризуется свойством, представляющим собой отрицание характеристического свойства внешней области, т. е. нельзя найти в ней такие две точки, чтобы прямая, проходящая через них, лежала целиком в этой области (или, иначе, прямая, проходящая через любые две точки этой области, обязательно пересекает линию /)-
Выше мы пользовались понятием отрезок и связывали его неизменно с двумя точками: «отрезок АВ», «отрезок, соединяющий точки А и В» и т. п. Что же такое отрезок? Иногда говорят «часть прямой». Это можно понимать как подмножество точек прямой. Но какое это подмножество?
Иногда пользуются отношением между, применимым к трем точкам. Это отношение соответствует наглядному представлению о точке, лежащей на прямой между двумя другими точками: если точка С лежит между точками А и В, то нельзя «дойти» по прямой от А к В, не пройдя через точку С. Эти наглядные представления подсказывают и некоторые свойства отношения между: если точка С лежит между А и В, то С лежит и между В и А; из трех точек только одна лежит между двумя другими, т. е. если Слежит между А и В, то уже А не лежит между Си В, а также В не лежит между А и С.
Имеются две различные трактовки понятия отрезка (по существу это два различных понятия). По одной из них отрезку АВ принадлежат сами точки А я В (концы отрезка) и все точки прямой АВ, лежащие между А и В. По другой трактовке точки А и В не считаются принадлежащими отрезку АВ, хотя по-прежнему называются его концами (т. е. концы отрезка не принадлежат ему).
Мы будем придерживаться первой трактовки, дидактически более целесообразной.
Так как через две точки А и В проходит единственная прямая АВ, то эти две точки определяют и единственный отрезок с концами А я В.
Зная, что такое отрезок, можно уточнить и понятие ломаной линии.
Если А\,А2, At,,.., A„-j, Ап — точки, никакие последовательные три из которых не лежат на одной прямой, то линия, состоящая из отрезков/41Л2>^2 ^3> ..,Ап_]А„, называется ломаной линией, эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки А\, А2, A3, .., Ап_], А„ — ее вершинами; точки А\ я Ап называются также концами ломаной Если концы ломаной совпадают, то ломаная называется замкнутой, в противном случае — незамкнутой (строгие определения замкнутой и незамкнутой кривой линии в элементарной геометрии не даются).
На илл. 11, А изображена замкнутая ломаная линия, на илл. 11, 2> — незамкнутая.
Как и всякая замкнутая линия, замкнутая ломаная линия разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две области — внутреннюю и внешнюю.
Среди ломаных линий выделяют простые (без самопересечений) ломаные линии, т. е. такие, которые сами себя не пересекают.
Изображенные на илл. 11 ломаные линии простые. На илл. 12 изображены непростые, сами себя пересекающие ломаные линии.
Перейдем теперь к рассмотрению многоугольников. Имеются два основных подхода, по существу определяющих различные понятия: согласно одному из них, под многоугольником понимают простую замкнутую ломаную линию, согласно второму — простую замкнутую ломаную вместе с ее внутренней областью или объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области.
Согласно первой трактовке, модель многоугольника, например, можно изготовить из проволоки, по второй — вырезать из бумаги. Какая же из двух трактовок более целесообразна с дидактической точки зрения? (С логической точки зрения обе трактовки корректны и имеют право на существование.) Для маленьких детей более естественным является называть квадратом, треугольником и т. д. именно ту фигуру, которую они закрасили и вырезали, т. е. ломаную вместе с ее внутренней областью. Поэтому представляется, что и для школы вторая трактовка является более целесообразной.
Многоугольники классифицируются по числу сторон или углов: треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и т.д. Наблюдая различные многоугольники, можно обнаружить наличие или отсутствие свойства, называемого выпуклостью.
На илл. 13 изображены многоугольники, обладающие (в случаях/1, Б, Г, Е) и не обладающие (в случаях В, Д, Ж) этим свойством.
Как же геометрически описать это интуитивно ясное свойство? Любой из многоугольников в случаях Л, Б, Г, Е расположен по одну сторону от прямой, проведенной через каждую его сторону, т. е., если продолжить любую сторону, полученная прямая не пересечет многоугольник (с этой целью на рисунке стороны этих многоугольников продолжены пунктиром). В каждом из многоугольников в случаях В, Д, Ж существует хотя бы одна такая сторона, продолжение которой пересекает многоугольник. Первые называются выпуклыми, вторые — невыпуклыми.
Треугольник, квадрат, прямоугольник — выпуклые четырехугольники. Пятиконечная звездочка — невыпуклый десятиугольник.
Стороны и вершины многоугольника, т. е. замкнутая ломаная, образуют границу многоугольника. Это интуитивно ясное понятие. Например, интуитивное представление о границе фигуры готовит детей к географическому понятию границы.
Чем же отличается граничная точка, т. е. точка, принадлежащая границе, от внутренней точки многоугольника (и вообще фигуры)? Как это различие описать геометрически?
С этой целью введем понятие окрестности точки. Под окрестностью точки А будем понимать круг любого радиуса с центром в точке А. Теперь, пользуясь этим весьма наглядным понятием, опишем различие между внутренней и граничной точками многоугольника.
Для любой внутренней точки А, как бы близка она ни была к границе, всегда можно найти окрестность, все точки которой внутренние (илл. 14).
Для граничной точки В нет такой окрестности, т. е., какую бы окрестность точки В ни взяли, внутри ее найдутся как внутренние, так и внешние точки. Такими же свойствами обладают внутренние и граничные точки на географической карте, представляющей собой некоторую геометрическую фигуру.
Например, на географической карте России для любой внутренней точки можно найти окрестность, внутри которой все точки принадлежат территории России. Для любой точки на границе России такой окрестности нет, т. е. в любой окрестности такой точки найдутся как точки, принадлежащие России, так и точки, принадлежащие соседнему государству.
Среди форм используемых нами блоков (или фигур) кроме треугольника, квадрата, прямоугольника имеется и круг. Кроме того, многие предметы, с которыми встречаются дети (тарелки, блюдца, колеса велосипеда и др.), имеют круглую форму. Считаем нецелесообразным для дошкольников вводить термин окружность.
В элементарной геометрии круг определяется как множество (или геометрическое место) всех точек плоскости, удаленных от некоторой точки, называемой центром, на расстояние, не превышающее R (R — радиус круга); окружность определяется аналогично как множество всех точек плоскости, удаленных от точки, называемой центром, на одно и то же расстояние R.
Заметим, что если в этих формулировках слово «плоскость» заменить словом «пространство», то получатся определения шара и сферы, соответственно, пространственных аналогов круга и окружности.
Круг, окружность, шар и сферу можно определить и генетически, т. е. описанием процесса образования этих фигур. Этот процесс легко смоделировать: если отрезок зафиксировать в одном конце и вращать его около этого конца, то он опишет круг, а второй его конец — окружность. Если полукруг вращать около диаметра, то он опишет шар, а ограничивающая его полуокружность — сферу.
Дошкольники знакомятся также с одним из простейших многогранников, каким является куб.
Куб — пространственный аналог квадрата. Он ограничен шестью квадратами. Его можно сконструировать (склеить) из плоской фигуры — выкройки, изображенной на илл. 15
Ознакомление детей с описанными выше простейшими геометрическими фигурами является пропедевтической основой для дальнейшего формирования и развития у них геометрических, в том числе пространственных, представлений.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 3986 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
