Область определения функции

Под областью определения (существования) функции понимается совокупность всех действительных значений аргумента , при которых функция определена и выражается действительным числом.

Пример 1. Найти область определения функции

Решение. Очевидно, что при любом действительном значении функция также выражается действительным числом. Следовательно, данная функция определена при любом значении . Этот результат можно записать в виде .

Отметим особенности отыскания области определения некоторых функций.

1. При отыскании области определения дробной функции нужно исключить значения аргумента, при которых знаменатель обращается в нуль.

Пример 2. Найти область определения функции:

Решение. Знаменатель обращается в нуль при . Данная функция принимает действительные значения для всех , кроме . Следовательно, областью определения данной функции являются интервалы .

Пример 3.

Решение. Функция определена для всех действительных значений т.е корней квадратного трехчлена ими являются числа Следовательно, функция определена на интервалах

Пример 4.

Решение. Приравняв знаменатель дроби нолю и решив полученное квадратное уравнение , убедимся, что его корни . Ни при одном действительном значении знаменатель в нуль не обращается. Поэтому данная функция определена при всех действительных значениях . Ее областью определения является бесконечный интервал

2. Если аналитическое выражение функции содержит корень четной степени, то при отыскании области определения функции нужно исключить значения аргумента, при которых подкоренное выражение принимает отрицательные значения

Пример 5. Найти области определения функций:

Решение. Заметим, что эта функция имеет смыл только в том случае, когда подкоренное выражение больше нуля либо равно нулю. Если же подкоренное выражение отрицательно, то мнимое число. Следовательно, Итак, данная функция определена только в том случае, если

3. Если аналитическое выражение функции содержит логарифм, то при отыскании области существования данной функции нужно исключить значения аргумента, при которых выражение под знаком логарифма принимая отрицательные значения и обращается в нуль.

Пример 6. Найти области определения функций:

Решение. Так как выражение под знаком логарифма должно быть положительно, то

Нельзя смешивать область определения функции с областью значений функции.

Область значений функции есть множество всех действительных значений, которые принимает функция. Например, область значений функции есть совокупность всех значений , для которых а областью определения той же функции т.е промежуток