Задания для самостоятельного решения. 2. Найти производные третьего порядка заданных функций

1. Найти производные второго порядка заданных функций:

1. у=х⁴+2х²+3

2. у=cos²x

3. y=ctg x

4. y=sin x

5. y= 2^x

6. y=ln(2x-3)

7.

8.

9. у = - ;

10.

11. у = ;

2. Найти производные третьего порядка заданных функций:

1. у=х⁵+3х³+2х

2. y=cos 5x

3. y= sin²x

4. y=lnx

5.

6. y=e^x cos x

7.

8.

Рассмотрим механический смысл производной второго порядка.

Пусть тело движется прямолинейно Как известно, скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение В этом случае величена отношения показывающая изменения скорости в единицу времени, называются средним ускорением в промежутке времени от

Пусть а среднее ускорение стремится к величене, которая называется ускорением в данный момент времени t. Следовательно, ускорение движущего тела представляет собой скорость изменения его скорости.

Обозначив ускорение через а, получим

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

В этом и заключается механический смысл второй производной.

Пример 1. Точка движется прямолинейную по закону Найти скорость и ускорение точки в момент времени

Решение. Для определения скорости нужно найти первую производную данной функции при Имеем

(м/с).

Ускорение равно второй производной функции при т.е.

Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения t; значит, движение точки по заданному происходит с постоянным ускорением.

Пример 2. Материальная точка движется по закону Найти ее ускорение в конце 3 – й секунды.

Решение. находим (м/ .

Пример 3. В момент времени t тело находится на расстоянии км от места отправления. Найти его ускорение через 2 ч.

Решение. Находим При t = 2 имеем (км\ч³).

Пример 4. Точка движется вдоль оси абсцисс по закону время в секундах, отсчитываемое от а x – расстояние движущейся точки от начала координат в метрах. Требуется: а) определить закон изменения скорости и ускорения движения от времени ; б) найти начальную скорость и скорость в момент в) установить, существуют ли моменты времени, когда скорость равна нулю, и если да, то какие положения движущиеся точки соответствуют этим моментам.

Решение. а) Для определения скорости движения найдем производную пути по времени:

а для определения ускорения движения – производную скорости по времени:

б) если , то (м\с) (начальная скорость); если t=3, то (м\с).

в) Условие означает, что Решая это уравнение, получим Следовательно, значение достигается дважды: сначала – в момент а затем – в момент

Найдем абсциссы движущейся точки в эти момент времени:

Пример 5. Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно по закону Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.

Решение. Имеем Следовательно, (м\с²), т.е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м\с². Далее, так как масса тела постоянна (30кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила – также постоянная величина.