Способ 1 (метод обратной матрицы)

Решение имеет вид Х = А^–1xВ, где А^–1 – матрица, обратная по отношению к матрице А.

С помощью функции МОБР находится обратная матрица, а затем с помощью функции МУМНОЖ она перемножается с вектором-столбцом правых частей уравнений.

Примечание. При работе с матрицами перед вводом формулы необходимо выделить область на рабочем листе, куда будет выведен результат вычисления, а после задания исходных данных в поле функции выйти не как обычно, нажатием клавиши Enter или кнопки ОК, а нажатием клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Способ 2 (правило Крамера). Если определитель D, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля, то решение имеет вид

x _j = D_j / D, j=1...n. (2.5)

Здесь D_j – дополнительный определитель, полученный из главного определителя системы D путем замены его j-го столбца вектором-столбцом В.

С помощью функции МОПРЕД находятся главный и дополнительные определители, и по формулам (2.5) вычисляются корни СЛАУ.

Способ 3 (метод исключений Гаусса). Этот метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду, что достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.

Предположим, что в (2.4) a₁₁ ¹ 0. Разделим первое уравнение системы на a₁₁ (этот коэффициент называется ведущим или главным элементом), получим:

.

Затем из каждого из остальных уравнений вычитается первое уравнение, умноженное на соответствующий коэффициент a_i1 (i=2,3,¼, n).

Эти n–1 уравнений принимают вид:

где

Далее аналогичную процедуру выполняют с этой системой, оставляя в покое первое уравнение. Только теперь делят на другой ведущий элемент a₂₂⁽¹⁾ ¹0.

В результате исключения неизвестных приходим к СЛАУ с верхней треугольной матрицей с единицами на главной диагонали:

(2.6)

Индексы над коэффициентами означают, сколько раз данное уравнение преобразовывалось.

Прямой ход метода Гаусса завершен.

Обратный ход метода Гаусса заключается в нахождении неизвестных x_n, x_n-1,..., x₁, причем в указанном порядке.

В этом списке x_n уже определено из последнего уравнения системы (2.6), а общая формула обратного хода имеет вид:

Проиллюстрируем этот алгоритм на примере решения системы из трех уравнений.

1.Располагаем на листе Excel матрицу коэффициентов и столбец правых частей (т.н. расширенная матрица 3´4), например, в ячейках А4:D6 (рис. 2.4).

2.Выделяем диапазон ячеек А8:D8 и вводим формулу:

{=A4:D4/A4}.

Фигурные скобки появляются автоматически при вводе формулы комбинацией клавиш Shift+Ctrl+Enter, как признак того, что идет работа не с отдельными ячейками, а с массивами.

3.Выделяем диапазон ячеек А9:D9, вводим формулу:

{=A5:D5-$A$8:$D$8*B5}

и копируем эту формулу в диапазон ячеек А10:D10. В ячейках А9 и А10 появились нули.

4.В ячейки А12:D12 копируем значения первой строки расширенной матрицы А8:D8, в ячейки А13:D13 – формулу {=A9:D9/B9}.

При этом второй элемент главной диагонали матрицы коэффициентов становится равным единице.

Рис.2.4 – Результаты решения СЛАУ

В ячейки А14:D14 вводим формулу: {=A10:D10–$A$13:$D$13*B10}.

5)В ячейки А16:D17 копируем значения первых двух строк расширенной матрицы (А12:D13), а в ячейки А18:D18 – формулу: {=A14:D14/C14}.

Прямой ход метода Гаусса завершен: получилась верхняя треугольная матрица с диагональными элементами, равными 1.

Задание 2.5. Решение систем нелинейных уравнений.

С помощью сервисной программы Поиск решения (Сервис | Поиск решения) в Excel можно решать системы нелинейных уравнений.

В общем случае система нелинейных уравнений имеет вид:

(2.7)

Составим новую функцию F(x₁, х₂,..., х_n), представляющую собой сумму квадратов правых частей уравнений:

(2.8)

Очевидно, переменные x₁, х₂,..., х_n, являющиеся решением системы (2.7), с необходимостью и достаточностью являются также решением уравнения:

(2.9)