Пример 2.1. Нахождение корней полиномов при помощи табулирования и сервисной функции Подбор параметра

Известно, что если функция, определенная в интервале [a,b], имеет значения F(а) и F(b) с разными знаками, то в интервале [a,b] есть, по крайней мере, один корень. Построить алгоритм нахождения корней уравнений с заданной точностью EPS следующим образом.

1. Определить начальный интервал [A, B], где находятся корни.

Для полиномов

модули всех корней x_k, k = 1…n расположены в круговом кольце

, (2.1)

где, ;

Таким образом, положительные корни лежат в интервале [A, B], а отрицательные корни - в интервале [-B, -A].

2. Табулируя полином в найденных начальных интервалах (например, с шагом (В-А)/10), составить таблицу {x, P(x)}.

3. Определить две соседние ячейки х, где функция меняет свой знак. Одно из значений (для которого значение функции ближе к нулю) принять за начальное приближение к корню полинома.

4. (меню Сервис). Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций задаются на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры (Сервис з Параметры з Вычисления) (рис. 2.1).

5. Открыть диалоговое окно Подбор параметра (рис. 2.2). В поле Установить в ячейке ввести адрес ячейки, где вычисляется значение полинома. В поле Значение ввести 0 (т.е. искомое значение полинома). В поле Изменяя значение ячейки ввести адрес ячейки, отведенной для переменной х, где должно находиться начальное приближение к корню полинома.

Рис. 2.1. Диалоговое окно Параметры

Рис. 2.2. Диалоговое окно Подбор параметра

Примечание. В этой ячейке должно содержаться числовое значение, а не формула, его вычисляющая. Для того, чтобы заменить в ячейке формулу на ее числовое значение, необходимо, находясь в этой ячейке, вызвать контекстно-зависимое меню и выбрать Копировать. Затем, находясь в той же ячейке, снова вызвать контекстно-зависимое меню и выбрать Специальная вставка (рис. 2.3).

В появившемся диалоговом окне отметить Значения. После этого ячейка готова к использованию в поле Изменяя значение ячейки диалогового окна Подбор параметра.

6. После подбора параметра (ОК) х получит значение корня. Процесс повторяется для всех найденных начальных приближений в диапазоне, определяемом формулой (2.1).

Рис. 2.3. Диалоговое окно Специальная вставка

Пример 2.2. Нахождение корней нелинейных уравнений с помощью метода итераций.

Пусть дано уравнение f(x)=0. Для нахождения его корней методом итераций уравнение представляют в виде x=F(x) и записывают итерационную схему

, (2.2)

с помощью которой строится итерационный процесс уточнения корней, начиная с начального значения x₀, которое выбирается самостоятельно. Достаточное условие сходимости процесса: в окрестности корня | F ^/(x)| <1.

Порядок действий в Excel может быть следующий.

1. Представить данное уравнение в виде x=F(x).

2. Создать таблицу с заголовками столбцов Номер шага, Очередное приближение к корню, Проверка на точность.

3. В первую ячейку первой строки таблицы занести значение 0, во вторую – начальное приближение.

4. В следующие строки занести, соответственно, номер очередного шага, итерационную формулу, вычисляющую правую часть итерационной схемы, и условную формулу, позволяющую помещать в ячейку текст «Стоп» или «Дальше» в зависимости от выполнения заданной точности решения (см. п. 5).

5. Процесс копирования формулы продолжать до получения необходимой точности: разность двух рядом стоящих приближений по модулю должна быть меньше заданного значения EPS.

Если процесс расходится (получающиеся приближения удаляются друг от друга) или сходится очень медленно, то необходимо сменить вид представления x=F(x).

В этом может оказать помощь другой итерационный метод решения нелинейных уравнений – метод Ньютона. Его итерационная схема имеет вид

(2.3)

Сравнивая (2.2) и (2.3), замечаем, что в качестве функции F(x_k) можно взять правую часть из формулы (2.3). В большинстве случаев метод Ньютона сходится быстрее.

Пример 2.3. Нахождение корней нелинейных уравнений методом бисекции.

Если метод итераций сходится не всегда, то метод бисекции (или метод деления отрезка пополам, или метод дихотомии) – безусловно сходящийся метод нахождения корней нелинейного уравнения F(x)=0, лишь бы был известен отрезок, на котором расположен корень уравнения.

Пусть непрерывная функция F(x) меняет знак на концах отрезка [a,b], т.е. F(a)F(b) < 0. Назовем такой отрезок отрезком локализации корня: на нем есть, по крайней мере, один корень. Найдем координату середины этого отрезка c=(a+b)/2 и рассмотрим два получившихся отрезка [a,c] и [c,b]. Если F(a)F(с) < 0, то корень находится на отрезке [a,c], в противном случае – на отрезке [с,b]. Процесс деления все новых и новых отрезков локализации корня продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной величины точности решения EPS.

Пример 2.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

В Excel имеются специальные функции для работы с матрицами (Вставка функции пМатематические):

МОБР вычисление обратной матрицы А^-1;

МОПРЕД вычисление определителя матрицы D;

МУМНОЖ нахождение произведения двух матриц.

С их помощью можно решать системы линейных алгебраических уравнений вида

(2.4)

или в матричном виде

АХ=В,

где А = {a_ij}– матрица коэффициентов при неизвестных;

В = {b_ij} – вектор-столбец правых частей уравнений;

Х = {x_ij} – вектор-столбец неизвестных.