Показатели безотказности невосстанавливаемых объектов

Наиболее важные показатели надежности невосстанавливаемых объектов – показатели безотказности, к которым относятся:

- вероятность безотказной работы;

- плотность распределения отказов;

- интенсивность отказов;

- средняя наработка до отказа.

Показатели надежности представляются в двух формах (определениях):

- статистическая (выборочные оценки);

- вероятностная.

Статистические определения (выборочные оценки) показателей получаются по результатам испытаний на надежность.

Допустим, что в ходе испытаний какого-то числа однотипных объектов получено конечное число интересующего нас параметра – наработки до отказа. Полученные числа представляют собой выборку некоего объема из общей «генеральной совокупности», имеющей неограниченный объем данных о наработке до отказа объекта.

Количественные показатели, определенные для «генеральной совокупности», являются истинными (вероятностными) показателями, поскольку объективно характеризуют случайную величину – наработку до отказа.

Показатели, определенные для выборки и позволяющие сделать какие-то выводы о случайной величине, являются выборочными (статистическими) оценками. Очевидно, что при достаточно большом числе испытаний (большой выборке) оценки приближаются к вероятностным показателям.

Вероятностная форма представления показателей удобна при аналитических расчетах, а статистическая – при экспериментальном исследовании надежности.

1.1. Вероятностное определение

Перейдем к рассмотрению показателей безотказности невосстанавливаемого элемента, работоспособного в момент начала работы t = 0 и работающего до первого отказа, наступающего в случайный момент t = t.

Надежность такого элемента полностью определяется его безотказностью, а показатели безотказности – характеристиками случайной величины t, которую часто называют временем жизни элемента.

Вероятность отказа или функция ненадежности измеряется вероятностью того, что время безотказной работы t будет меньше заданного t и соответствует функции распределения величины t:

. (1)

Плотность вероятности отказа (или частота отказов):

. (2)

Функция надежности элемента представляет собой вероятность безотказной работы элемента за время t:

. (3)

Очевидна связь функции надежности и функции ненадежности элемента:

. (4)

Данное выражение является одним из основных в теории надежности.

Характерный вид приведенных функций показан на рис. 1.

Рис. 1. Функции надежности и ненадежности объекта

Среднее время безотказной работы T₀, или средняя наработка до отказа, является математическим ожиданием случайной величины t. Может быть представлена в виде:

или . (5)

Интенсивность отказов l(t) – это условная плотность вероятности q(t) возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник:

. (6)

Связь функции надежности и интенсивности отказов называется основным законом надежности и определяется как:

(7)

Интенсивность отказов l(t) для многих объектов имеет характерный вид (рис. 2) для разных периодов эксплуатации.

В период I (интервал (0; t₁)) интенсивность отказов уменьшается. Этот интервал соответствует выявлению грубых дефектов, его часто называют периодом приработки или периодом выжигания неисправностей, тренировки.

В периоде II (интервал (t₁; t₂)), часто называемом периодом нормальной эксплуатации, интенсивность отказов может оставаться постоянной.

Рис. 2. Характерное изменение интенсивности потока отказов

В периоде III (интервал (t₂; ¥)), называемом периодом старения и износа, происходит рост интенсивности отказов.

В случае постоянства интенсивности отказов l(t) = l = const, тогда (7) переходит в известное в теории вероятностей экспоненциальное распределение:

. (8)

Это выражение называют эспоненциальным законом времени жизни элемента. Для экспоненциального распределения формула (5) принимает вид:

(9)

Следовательно, при простейшем потоке отказов средняя наработка Т₀ обратна интенсивности отказов l.

1.2. Статистическое определение

Введем обозначения:

n(t) – число отказавших объектов к моменту t;

N(t) – число работоспособных объектов к моменту t;

Dn(t₁, t₂) – число отказавших объектов в интервале времени [t₁, t₂].

Статистическая оценка вероятности безотказной работы (ВБР) (эмпирическая функция надежности) определяется как

. (10)

Оценка вероятности отказа (ВО):

. (11)

Статистическая оценка плотности распределения отказов (ПРО):

. (12)

Статистическая оценка интенсивности отказов:

. (13)

Статистическая оценка средней наработки до отказа:

. (14)

Кроме показателя средней наработки, следует учитывать показатели рассеивания, к числу которых относятся дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО) наработки до отказа.

Дисперсия случайной величины наработки:

- вероятностное определение

; (15)

- статистическая оценка

. (16)

СКО случайной величины наработки:

. (17)