Конечно-разностные алгоритмы и фундаментальные решения дифференциальных уравнений в БЦВМ

Дифференциальные уравнения в БЦВМ решаются в конечно-разностной форме и с использованием фундаментальных решений.

1) фундаментальные решения л.д.у.

Исходными данными являются д.у. n-ой степени:

Дано:

Решение уравнения включает общее и частное решения.

Общее решение:

-корни характеристического уравнения

-коэффициенты, либо собственный вектор

Для определения частного решения необходимо задать структуру функций для описания управления:

-сопряженные функции

Частное решение:

Фундаментальное решение системы д.у. или д.у. n-го порядка описывает изменение выходной координаты в виде.

Пример:

при ;

В случае исследования вынужденного движения определяется переходная функция, которая представляет собой изменение координаты при нулевом начальном значении на заданное воздействие.

-переходная функция;

Поиск фундаментального решения и переходных функций позволяет найти точное аналитическое решение д.у. n-го порядка или системы д.у. в виде

Конечно-разностный метод.

Метод конечных разностей использует расчет приращения функций на шаге дискретности замену приращений на значения функции в узловых точках.

Исходное д.у. заменяется приближенной конечно-разностной формой.

В случае использования метода конечных разностей для одного, либо системы д.у. порядка n. Необходимо в памяти БЦВМ хранить результаты измерения выходной координаты на n-шагах. В случае использования фундаментальных решений в памяти хранится только предыдущее значение и значение фундаментальной матрицы на шаге дискретности.