Расчет подогревателя

3.3.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Нагревание технологических веществ производится чаще всего в кожухотрубчатых аппаратах (подогревателях).

Рис. 3.4 – Схема подогревателя.

Требуемая поверхность нагрева определяется количеством тепла Q, которое необходимо передать от конденсирующегося пара через трубки потоку газа (или жидкости), находящемуся в трубках. При заданном диаметре трубок и их количестве поверхность F теплопередачи линейно зависит от длины трубок:

F=π∙d∙l∙n,

где d – средний диаметр трубок, м;

l – длина трубок, м;

n – количество трубок.

Структура потоков в трубках подогревателя (рис. 3.4) близка к модели идеального вытеснения, а в межтрубном пространстве температура постоянна и равна температуре конденсации пара (t_п).

3.3.2 ВЫВОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ

Вывод математического описания для подогревателя ничем не отличается от теплообменника, поэтому приведем лишь конечное выражение с учетом того, что поверхность теплообмена в этом случае будет определяться количеством трубок в аппарате:

F = П∙d∙l∙n_тр , (11)

где F – поверхность теплообмена;

П – смоченный периметр, м;

d – диаметр внутренней трубы, м;

l – длина аппарата, м;

n_тр – количество трубок.

(12)

где C₁,C₂ – теплоемкости теплоносителей, Дж/кг·К;

ρ₂, ρ₂ – плотности теплоносителей, кг/м³;

К – коэффициент теплопередачи,Вт/(м² · °С);

Vc₁, Vc₂ – объемные расходы горячего и холодного теплоносителей, м³/c;

Следует отметить, что температура горячего теплоносителя постоянна по длине подогревателя, поэтому второе уравнение обращается в нуль и теряет смысл:

(13)

Эта задача может быть решена не только методом RK-4, но также и аналитическим методом. Для установившегося режима работы подогревателя математическое описание теплопереноса имеет вид:

, (14)

где W – линейная скорость движения холодного теплоносителя, м/c;

V – объем теплоносителя в трубках, м³;

Q – тепловая нагрузка аппарата (количество переданного тепла), Bт.

Тепловая нагрузка аппарата пропорциональна движущей силе процесса (t_n-t) и поверхности теплопередачи (F):

Q=k∙F∙(t_n - t), (15)

где t_n – температура пара.

Объем технологического вещества в трубках может быть выражен через площадь сечения всех трубок и длину трубок:

V=S∙n_тр∙L. (16)

Скорость движения технологического вещества зависит от объемной скорости (V_c) и сечения трубок:

. (17)

Подставка в уравнение (14) выражения (11), (15), (16), (17), получим:

(18)

Произведя сокращения и преобразования, получим следующее математическое описание процесса нагрева холодного технологического вещества:

(19)

При следующих граничных условиях:

t=t_нач при x=0

t=t_{кон при} x= L,

обозначив и проведя разделение переменных:

, (20)

можно проинтегрировать полученное уравнение (20).

(21)

(22)

= exp (- A·l) (23)

t = tn – (tn – tн) ·exp (- A·l) (24)

По выражению (24) можно найти температуру холодного теплоносителя в любой точке аппарата.

3.3.3 УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ

1. Начальные условия характеризуют значения технологических параметров в начальный момент времени (при τ=0) в любой точке объекта. При этом значение технологических параметров зависит от способа запуска или останова объекта. Так, например, если перед началом работы аппарат был пуст, и в момент времени τ=0 одновременно подали оба теплоносителя, то распределение температур будет следующим (прямоток):

t₁(τ=0, х=0) = t_n, ºС t₂(τ=0, х=0) = t_хол, ºС

t₁(τ=0, х=L) = t_ср, ºС t₂(τ=0, х=L) = t_ср, ºС

В стационарном режиме, который рассматривается в данной задаче, эти условия не имеют смысла.

2. Граничные условия первого рода (ГУ-I) характеризуют значение технологических параметров на границах объекта в любой момент времени.

t₁(τ, х=0) = t_хол, ºС t₂(τ, х=0) = t_n, ºС

t₁(τ, х=L) = t_кон, ºС t₂(τ, х=L) = t_n, ºС

где (х=L) определяет координату выхода из аппарата.

3. Граничные условия второго рода (ГУ-II) определяют значения плотностей потоков энергии на границах объекта, характеризующихся законом Фурье:

q_λ = - ,

где λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К)

– градиент температур, ºС/м.

Поскольку потери в окружающую среду не учтены в математическом описании, то для рассматриваемого процесса в связи с отсутствием градиента, ГУ-II не имеют смысла.

4. Граничные условия третьего рода (ГУ-III) определяют равенство плотностей потоков тепла на границах раздела двух разнородных фаз.

Как известно, на границе соприкосновения фаз возникает псевдонеподвижный слой теплоносителя. Внутри этого слоя тепло передаётся на молекулярном уровне (теплопроводностью):

q_λ = -

В движущемся слое перенос тепла происходит на молярном уровне по закону Ньютона (плотность потока пропорциональна движущей силе):

q_α = α(t-t_пл)

При равенстве потоков можно записать:

= α(t- t_пл),

где t_пл – значение температуры в приведенной пленке, ºС.

Граничные условия третьего рода позволяют получить при формальном делении правой части равенства на левую безразмерное соотношение (число Нуссельта), показывающее соотношение интенсивностей конвективного и кондуктивного переноса тепла. Следовательно, число Нуссельта также может быть отнесено к граничным условиям третьего рода.

5. Граничные условия четвертого рода (ГУ-IV) характеризуются равенством плотностей потоков тепла на границе раздела двух одинаковых фаз (газ-газ, жидкость-жидкость, твердое-твердое), передаваемых на молекулярном уровне. Форма записи ГУ-IV следующая:

λ₁ dt₁ /dx = λ₂ dt₂ /dx.

6. Геометрические условия задают размеры аппарата и отдельных его элементов (диаметр сечения, по которому движется поток технологического вещества, длина пути, размеры трубок и т.д.).

7. Теплофизические условия определяют свойства технологических веществ: плотности (кг/м³), теплопроводности (Вт/(м*ºС)), теплоемкости (Дж/(кг*ºС)).

8. Кинетические условия определяют линейные скорости движения технологических веществ (W), массовые и объемные скорости (Vc), коэффициенты скоростей процессов (K), коэффициенты теплопроводности (λ).

3.3.4 ВЫБОР МЕТОДА РЕАЛИЗАЦИИ

Для решения поставленной задачи рекомендуется воспользоваться стандартной программой Рунге-Кутта, а также провести расчет аналитическим методом для сравнения результатов и нахождения погрешности. В результате решения требуется найти необходимую длину трубок теплообменника, для нагрева холодного теплоносителя до заданной температуры.

Расчет необходимо провести при различных объёмных скоростях холодного теплоносителя.

3.3.5 БЛОК – СХЕМА РЕАЛИЗАЦИИ

3.3.6 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Таблица 3.6 – Идентификация переменных

№ п/п	Перемен. в прогр.	Переменная в мат.опис.	Смысл и размерность переменной	Значение
	К   ρ d с   Vc   tn t   ta   t_zad   А	К   q d с   Vc   tn t   ta   tзад   А	Коэффициент теплопередачи, Вт/(м2·К) Плотность теплоносителя, кг/м3 Диаметр трубок, м Теплоёмкость теплоносителя, Дж/(кг°С) Объёмный расход теплоносителя, м3/с Температура пара, °С Температура холодного теплоносителя (по RK4), °С Температура холодного теплоносителя (аналит.), °С Температура холодного теплоносителя на выходе, °С Коэффициент	Из варианта Из варианта Из варианта   Из варианта   Из варианта Из варианта   Рассчитываем   Рассчитываем   Из варианта Рассчитываем

3.3.7 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Таблица 3.7 – Варианты заданий