Нечеткие иерархические отношения

По существу обобщением понятия эквивалентности служит понятие «сходство» введенное Заде. Отношением сходства S в Ω называется нечеткое отношение, которое:

1. рефлексивно, то есть = 1, тогда и только тогда, когда x

2. симметрично, то есть , ;

3. транзитивно, то есть

4. Отношение несходства D можно определить как дополнение к S с функцией

Если функцию интерпретировать, как расстояние d(х,y), то из транзитивности отношения S следует:

. (2.25)

Поскольку = 1- MAX[ d(х,y), то, можно заключить, что d(x,z) MAX, ], ; откуда следует неравенство треугольника.

Определим отношение близости, описывающее субъективное сходство как рефлексивное, симметричное, но необязательно транзитивное, n-местное нечеткое отношение:

, где (2.26)

кратное декартово произведение X на себя; x,y

Тогда, для всех x,y и всех , 0

Отсюда следует существование предела:

так как, в соответствии с принципом монотонной сходимости, для любого найдется такое целое число N, что , при всех n>N.

Поскольку последовательность не убывающая и ограничена, как сверху, так и снизу, указанный предел существует в силу следующей теоремы:

Теорема 1: ограниченная, неубывающая последовательность {а_i} имеет предел равный наименьшему из чисел, которое не меньше любого из а_j;

Определение 2: пусть x и y два элемента из множества Ω, а определенное выше, n-местное отношение.

Назовем близостью этих элементов число из отрезка [0,1], удовлетворяющее равенству:

(2.27)

Определение 3: пусть . Тогда будем говорить, что находятся в пороговом отношении , тогда и только тогда, когда

Теорема 2: [ ]

Теорема доказана.

Теорема 3: Пороговое отношение является отношением сходства на Ω.

Доказательство:

1. xR_Tx , поскольку

1= ,

2. xR_Ty, тогда и только тогда, когда yR_Tx, так как

3. Из xR_Ty и yR_Tz следует xR_Tz, так как

Теорема доказана.

Заметим, что введение описанных выше отношений аналогично представлению о множествах α-уровня R_α отношения R (обычные четкие множества из декартова произведения X×Y), развитому Заде Л.

Теорема 4: Пусть T₁ тогда отношение R_T порождает подразбиение, порождаемое отношением _.

Доказательство:

Теорема доказана.

Легко видеть, что если и - пороговые отношения, порожденные соответственно функциями принадлежности и и то разбиение по является подразбиением разбиения по Функция служит функцией расстояния, поскольку:

1. при

2.

3. , так как