Естественность операций max и min

После появления понятия о нечетком множестве вышла работа Беллмана Р. и Гирца М. [41], посвященная методологическому обоснованию определений Заде Л. Там было показано, что операции max и min, не только естественны, но, что при достаточно разумных предположениях, они и единственно возможны. В этой превосходной работе показано, что функция принадлежности, которая служит количественным выражением степени субъективного доверия к простым высказываниям, налагает естественные ограничения на субъективную истинность составных высказываний. Так, например, при возрастании субъективной оценки субъективная истинность таких высказываний «» и «», не должна уменьшаться. Очевидно, что для оценки высказывания «» требуется больше, а для оценки высказывания «» меньше данных, чем для оценки только одного . Беллман Р. и Гирц М. показали, что в субъективных оценках операции max и min не только естественны, но при разумных предположениях и единственно возможны. Следует отметить, что при ослаблении условия «все или ничего», понятие отрицания по необходимости становится нечетким. При этом между высказываниями «х и не x» уже нет столь четкой границы. Отсюда возникает вопрос, каким естественным условиям должна удовлетворять функция N, связывающая истинность высказывания «х и не x»? Иными словами, как следует выбирать N в равенстве ()=N[ ?

Для того, чтобы обычная теория множеств оставалась частным случаем теории нечетких множеств, необходимо потребовать, чтобы N(0) стало равным 1, а N(1) = 0 и N[N( = и, чтобы функция N была непрерывной и строго монотонно убывающей, так как субъективная оценка высказывания «не x» должна уменьшаться с ростом оценки высказывания «x». В практических приложениях разумно пользоваться определением . Это определение и стало использоваться в теории нечетких множеств. Следует отметить, что специальные меры нечетких множеств можно описывать и, так называемыми, лингвистическими переменными предложенными Заде Л. [15].