Нечеткая алгебра

Определение 1: Нечеткой алгеброй называется система:

Z = <Z,+,*, >, где Z – множество, имеющее хотя бы 2 различных элемента и система Z удовлетворяет следующему набору аксиом:

1. идемпотентность: ;

2. коммутативность: ;

3. ассоциативность: ;

4. поглощение: ;

5. дистрибутивность:

6. дополнение: если то существует дополнение элемента х такое, что ;

7. единичные элементы: такой, что

8. закон Де Моргана, [39]: , (2.20)

Эта система, из 8 аксиом, образует дистрибутивную структуру с единственными единичными элементами относительно операций суммирования (+) и умножения(). К сведению, булева алгебра [40] так же является дистрибутивной структурой с дополнениями и с единственными единичными элементами, относительно этих же операций. Однако для любого элемента х в булевой алгебре справедливы равенства:

. (2.21)

Данные соотношения для нечеткой алгебры, вообще говоря, не верны. Таким образом, любая булева алгебра является нечеткой, но не наоборот.

В данном изложении мы будем пользоваться конкретной нечеткой алгеброй, которая определяется системой: Z = <[0,1],+,*, >, где в качестве операций сложения и умножения служат соответственно операция взятия максимума и минимума, а дополнение определяется как

.

Единственными единичными элементами служат соответственно 0 и 1, которые при любых x удовлетворяют равенствам:

.

Пусть, как и ранее, Ω = {x} – пространство объектов, а А и В – два нечетких множества в Ω.

В близком соответствии с терминологией Заде, введем следующие понятия:

Равенство А=В определим как А=В .

Нечеткое множество А содержится в множестве В*(А ), тогда и только тогда, когда

Нечеткое множество является дополнением нечеткого множества А, тогда и только тогда, когда

Объединением двух нечетких множеств А и В из Ω назовем множество А+В с функцией принадлежности .

Пересечением двух множеств А и В из Ω назовем множество А В с функцией принадлежности .

Далее, вместо термина,«степень принадлежности переменной к множеству», будем употреблять - термин «нечеткая переменная». Условимся так же опускать символ , то есть, вместо , будем писать x y.

Совершенно очевидно, что, среди бесконечного числа разных способов присвоения переменным степени принадлежности конечному множеству, существует лишь конечное число двоичных способов (то есть, присвоения всем переменным значения 0 и 1). Л. Заде определяет нечеткое отношение R как нечеткое множество упорядоченных пар. Таким образом, если совокупности объектов x и y, то нечеткое отношение из X в Y – это нечеткое подмножество прямого произведения , характеризуемое функцией принадлежности (характеристической функцией) которая каждой паре (x, y) ставит в соответствие «степень принадлежности» к R. Для простоты предположим, что областью значения функции служит отрезок [0,1], а число будем называть силой отношения между x и y.

Областью определения, (domain, domR) нечеткого отношения R, назовем НМ с функцией принадлежности

. (2.22)

Аналогично, областью значений (range, ranR) отношения R, назовем нечеткое множество с функцией принадлежности

. (2.23)

Высотой h(R) – называется число h(R):

(2.24)

Нечеткое отношение называется нормальным, если h(R)=1, и субнормальным, если h(R)<1.

Носителем S(R) отношения R назовем четкое подмножество прямого произведения X×Y, на котором .

Замечание 1: если X и Y – конечные множества, то функцию можно представить в виде матрицы, (x,y) –й элемент которой равен