Лекция 17

Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Классификация линий второго порядка.

Из Th1 и Th2 предыдущей лекции следует, что на плоскости всегда существует ДПСК, R`` относительно которой простейшее уравнение второго порядка имеет тип: I, II, III. Найдем виды линий второго порядка каждого типа.

I. - тип Þ , где l₁¹0, l₂¹0

1. l₁ и l₂ – одинакового знака, , имеет знак противоположный знаку l₁

Тогда

Так как

2. l₁ и l₂ – одинакового знака, , имеет знак, совпадающий со знаком l_1,

тогда

(мнимый эллипс)

3. l₁ и l₂ – одинакового знака, ,

(пара мнимых пересекающихся прямых)

4. и - разных знаков, и имеет знак, противоположный знаку

(гипербола)

5. и - разных знаков, ( >0)

;

(пара действительных пересекающихся прямых)

II. y Î II – тип Þ

6.

III. yÎIII – тип Þ

7. знак противоположен знаку l₂

(пара параллельных прямых)

8. знак совпадает со знаком l₂

(пара мнимых параллельных прямых)

9.

(пара совпадающих прямых)

Классификация линий второго порядка.

Тип	Вид	l1	l2	a*33	Простейшее уравнение	Каноническое уравнение	Рисунок	Название
I								эллипс
						мнимый эллипс
						пара мнимых пересекающихся прямых
						гипербола
						пара пересекающихся прямых
II								парабола
III								пара параллельных прямых
						пара мнимых параллельных прямых
						пара совпадающих прямых

Лекция 18

Построение линий 2^го порядка, заданной общими уравнениями.

(1)

1). Составим характерное уравнение линии j и находим его корни:

2). Находим угол поворота L из уравнения:

3). Ищем

(3)

Если угол L не табличный, то cos L и sin L выражаются в формуле:

4). Преобразуя уравнение (3) методом выделения полных квадратов (метод Лагранжа), как это было сделано при доказательстве Th2, приводим уравнение линии к простейшему типу. При этом будет найдена т. О^’(x₀, y₀), перенося в которую начало системы R^’, перейдем от т. R^’ к R^’’ ={O^’,(i^’,j^’)}

5). Приводим найденное простейшее уравнение линии f к каноническому виду. Строим на плоскости и по найденному каноническому уравнению строим f в R`.

Пример: определить вид и построить линии второго порядка, заданную общим уравнением в ДПСК

1. l²-(a₁₁+a₂₂) l+(a₁₁a₁₂-a₁₂²)=0

_­l²-(5+5) l+(5×5-4²)=0

l²-10l+9=0 Þ l₁=1 Ú l₂=9

Если l₁ и l₂ – одного знака, то l₁ – корень меньшей величины

2.

3.

4.

5. (эллипс)

Лекция 19

Центр линии 2^го порядка. Пересечение линии 2^го порядка прямой. Асимптотические направления.

Пусть в , f – линия 2^го порядка

(1)

Обозначим:

(4)

Df: Центром линии 2^го порядка называется точка, координаты которой удовлетворяют системе:

M(x,y): (5)

(6)

Исследуя линию f на наличие центра. Для этого решим систему (6)

Обозначим: , , (7)

Используя (7) перепишем последнюю систему: (8)

Исследуем систему (8)

1).

(8) ; - центр f

2). то система (8) несовместима. След. F не имеет центра.

3). , то (8) имеет бесконечно много решений, а система (6) эквивалентна одному уравнению: a₁₁x+a₁₂y+a₁₃=0 (9)

Df: Линия второго порядка, имеющая единственный центр, называется центральной линией второго порядка.

Легко проверить, что центральными являются линии первого типа, и только они. Остальные лини называют нецентральными. Линия, не имеющая центра-линии второго типа (парабола). Линии, имеющие бесконечно много линий-центров – линии третьего типа.

Можно доказать, что центр. линии второго порядка является её центром симметрии.

2.Пересечение линии второго порядка прямой.

Пусть в R={O,(I,j)} заданны:

Объединяя (1) и (2) в систему (3), определяющую точку пересечения линии с прямой . Систему (3)решим подстановкой. Подставляя x и y из (2) в (1) получим одно уравнение, относительно t, корни которого определяют точки пересечения линии f и прямой (чтобы найти координаты точки пересечения подставим значения t в (2).

Последнее уравнение является уравнением не выше второй степени, поэтому его можно записать в виде:

, где

Исследуем уравнение (4)

1. . В этом случае уравнение (4)-квадратное, следовательно, зависит от

1. Д>0, то (4) – имеет два действительных корня t₁ и t₂

2. Д=0, то (4) – имеет t1=t2. Линия f имеет одну двойную точку

3. Д<0, то (4) не имеет действительных решений. f не имеет действительных точек пересечения с линией e, а имеет пару точек пару точек пересечения на комплексной плоскости.

2. (5)

1. , t₁=-R/2Q и линия второго порядка имеет единственную точку пересечения с

2. , R¹0; 0×t=R; (5) – не имеет решений и линия второго порядка не имеет общих точек с прямой.

3. , R=0; 0×t=0; в данном случае (5) имеет бесконечно много решений, т.е. каждая точка прямой е принадлежит линии второго порядка f. В этом случае линия f распадается на несколько прямых.

3. Ассимптонические направлнеия.

Пусть задана линия 2^го порядка.

(1)

и дан

Df: Ненулевой вектор а называется вектором асимптотического направления относительно линии 2^го порядка, заданной общим уравнением, если его координаты удовлетворяют уравнению р = 0 (2), т.е. (3)

Исследуем линию f на наличие асимптотического направления

1).

- условный коэффициент а

(4)

(4) – квадратное уравнение относительно k

1. уравнение (4) имеет 2 различных решения:

Þ в этом случае f имеет 2 различных асимптотического направления

Df: Линии 2^го порядка, имеющие 2 асимптотические направления называются гиперболического вида.

Они характеризуются тем, что

Показать, что линиями гиперболического вида является гипербола и пара пересекающихся прямых.

2. уравнение (4) имеет 2 совпадения решения:

, а значит линия f имеет 2 совпавших асимптотические направления

Df: Линия, имеющая 1 асимптотическое направление называется линией параболического типа.

«f – параболического типа» Û = 0

Показать, что линией параболического типа является парабола, пара параллельных и пара совпадающих прямых.

3. то (4) не имеет действительных корней, а линия f не имеет асимптотических направлений.

Df: Линия f, не имеющая асимптотических направлений, называется линией элиптичекого вида.

«f» - эллиптического типа

Показать, что линиями эллиптического типа является эллипс, линейный эллипс.

2).

Тогда, полагая, что вектор асимптотические направления, можно утверждать, что его координаты удовлетворяют уравнению (3):

Уравнение (3) примет вид: Ù

В этом случае направляющий вектор осей координат будет задавать асимптотические направление.

Лекция 20

Диаметры, оси, ассимптоты, касательные линии 2^го порядка.

Пусть в задана линия 2^го порядка, своим общим уравнением:

Df: Диаметром линии 2^го порядка сопряженным вектору не асимптотического направления называется множество точек, совпадающих с серединами хорд, параллельных вектору а.

Замечание: если прямая, параллельная вектору а не пересекает линию 2^го порядка в действительных точках, то считается, что она пересекает линию 2^го порядка в 2^х точках с комплексно-сопряженными координатами, а середина хорды, определенная этими точками будет действительной точкой и она лежит на диагонали.

Составим уравнение диаметра

Пусть прямая , и пересекает f в т.: М₁ и М₂

- середина М₁М₂ и

произвольная точка диаметра

Обозначим параметры, определяющие

т. М₁ и М₂ через t₁ и t₂

t₁ и t₂ – корни уравнения: (1)

Пусть M(x,y), тогда

Но

Эти равенства возможны По т. Виета для уравнения (1):

Верно и обратное: если , то

Таким образом, получим, что

Запишем последнее равенство в координаты: (2)

Если то разделив обе части последнего уравнения на а₁ и учитывая, что

- угловой коэффициент а, получим:

(3)

Покажем, что уравнение (3) задает прямую линию.

Запишем уравнение (2) в развернутом виде:

Полученное уравнение не выше 1^ой степени; покажем, что это уравнение точно 1^ой степени. Допустим противное:

P = 0

Получим противоречие (а – вектор асимптотического направления, следовательно, уравнение диаметра имеет 1^ю степень и d является прямой линией)

Рассмотрим диаметры центральной и не центральной линии.

1). f - центральная линия, т.е.

Вычислим условный коэффициент диаметра. Для этого запишем уравнение диаметра в развернутом виде:

(4)

Получим k^’ – угловой коэффициент диаметра центральной линии. Направление задаваемое угловым коэффициентом k^’ и k называют сопряженнными. Решая (4) относительно k, получим:

Из последнего уравнения заключаем, что если направление k сопряженно направлению k^’, то и направление k’сопряженно направлению k. В силу этого свойства направления k и k^’ называются взаимно сопряженными. Геометрически, это означает, что каждый из 2^х сопряженных диаметров делит хорду, параллельную другому диаметру пополам. Из уравнения (3) видно, что любой диаметр центральной линии проходит через центр кривого, т.к. центр удовлетворяет уравнению:

2). f - нецентральная линия, т.е. , или

Таким образом, мы показали, что угловой коэффициент диаметра не зависит от углового коэффициента а, т.е. все диаметры нецентральной линии параллельны между собой.

Оси.

Df: Осью линии 2^го порядка, называют диаметр, перпендикулярного своему сопряженному направлению.

- ось

Подставим в последнее равенство k^’, выраженное через k:

Система однородного линейного уравнения имеет ненулевое решение, что определитель этой системы равен нулю, т.е. (5) –характерное уравнение линии 2^го порядка.

Подставим корни этого уравнения в предыдущую систему:

Получим 2 оси, которые задаются уравнениями:

оси центральной линии

Если линия нецентральная, то угловой коэффициент нецентральной линии k^’ равен:

Но

оси нецентральной линии