Асимптоты. Df: Прямая называется асимптотой кривой, если при бесконечном уравнении от начала координат расстояние от точек кривой до прямой

Df: Прямая называется асимптотой кривой, если при бесконечном уравнении от начала координат расстояние от точек кривой до прямой, неограниченно уменьшается.

Tp: Прямая является асимптотой гиперболы

Доказательство:

Доказательство Tp проведем для ветви гиперболы, лежащей в ± четверти. Остальные ветви будут следовать из св. 1⁰.

M(x,y) Î I четв

M(x,y) Î j

M₁ = O_x Ù MM₁ ^ Ox

M₂ = e Ù MM₁ ^ e

N = e Ù MM₁

| M₁M₂ | = d = r (M,e)

| M₁M₂ | < | MN |; N (x,y)

(3)

d 0 (4)

(3), (4) Þ lim d = 0

Df: точки пересечения гиперболы с осью на которой лежат фокусы называются вершинами гиперболы.

Расстояние между вершинами 2а, вершины имеют координаты:

A₁(-a, 0), A₂(a, 0); | A₁A₂ | = 2a (действительная ось)

B₁(0, -b), B₂(0, b); | B₁B₂ | = 2b (мнимая ось)

Все сказанное дает возможность построения.

Строится прямоугольник, центр которого совпадает с центром гиперболы, стороны которого проходят через т A₁, A₂, B₁, B₂ параллельно осям гиперболы, диагоналями этого прямоугольника являются асимптотами гиперболы.

и - взаимно сопряжены

Df: если a = b т.е. мнимая ось равно действительной, то гипербола называется равнобочной

x² – y² = a² – каноническое уравнение равнобочной гиперболы.

Df: 2 гиперболы, имеющие общие асимптоты и общие оси, но при этом действ. ось одной гиперболы (ось, на которой лежат фокуса) совпадает с мнимой осью другой называется сопряженными.

пара взаимно сопряженных гипербол

Лекция 14

Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства.

Df: Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной ориентированной точки плоскости, называется фокусом, равно расстоянию до данной фиксированной прямой, называется директриссой.

d – директрисса, F Ï d, F- фокус

j = { M | | FM | = r (M, d) } Обозначение r (F, d) = p (1)

Составим каноническое уравнение параболы. Для этого введем на плоскости ДПСК R = { O, (i, j) }

(FN) ^ d

N = d Ç FN

O – середина [ NF ]

i ­­ NF

j | R – правый репер

" M (x, y) Î о Û | FM | = r (M, d) (2)

d: x = -p/2

Перепишем равенство (2) в виде:

(3) – уравнение параболы

Т.к. обе части уравнения (3) неотрицательны, то возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение равносильное исходному, т.е. получим уравнение:

j: y² = 2px (4) – каноническое уравнение параболы

Df: Отрезок, соединяющий фокус параболы с точкой, лежащей на параболе, называется фокальным радиусом параболы.

Выведем формулу для нахождения длины фокального радиуса.

(5)

(4) (6)

(5), (6) Þ