Свойства гиперболы

Используя каноническое уравнение гиперболы:

(1)

1⁰. Гипербола имеет 2 оси симметрии и центр симметрии. В случае, когда гипербола задана каноническим уравнением, оси симметрии совпадают с осями координат, а центр симметрии с центром начала координат.

Следует из того

Т.к. x и y входят в уравнение в четных степенях.

2⁰. гипербола не ограниченная кривая, при x®¥ y®¥

Докажем свойство только для точек гиперболы, лежащих в I четверти. Для этого разрешим уравнение относительно y: y² = b²(x²/a²-1)

| y | =

M(x,y) Î I четв Þ

¥

x®¥ x®¥

3⁰. все точки гиперболы находятся вне полосы, заключенной между прямыми x= - a и x = a

Для доказательства применим уравнение гиперболы в виде:

Это и есть полоса всех прямых x = ± a

4⁰. гипербола выпуклая кривая

Df: кривая называется выпуклой, если она с любой прямой пересекается не более, чем в 2-х точках.

"e: Ax + By +С = 0

j Ù e: (2)

Пусть A ¹ 0, тогда уравнение перепишем в виде: x =

Подставив это, в уравнение гиперболы:

Получили квадратное уравнение относительно y. Это уравнение имеет не более 2-х корней, а Þ прямая с кривой имеет не более 2-х точек.