Двухстадийная игра на пространственном рынке

Ситуацию на рынке дифференцированyого продукта можно проанализировать, используя механизм теории игр.

Представим, что рынок с дифференцированным продуктом развивается в виде двухстадийной игры. На первой стадии фирмы выбирают местоположение (в рамках линейного города), а на вто-

рой — выбирают оптимальные цены продажи. Целью фирм по-прежнему является максимизация совокупной прибыли. Найдем равновесие в этой игре.

Начнем со второй стадии: при данных местоположениях фирмы назначают цены. Введем дополнительное условие — возьмем вместо линейных квадратичные транспортные расходы. Такая предпосылка оказывается более уместной по двум причинам. Во-первых, транспортные расходы более реалистично рассматривать в качестве альтернативных издержек покупки менее предпочитаемого товара (к этому мы еще вернемся ниже). Тогда выглядит вполне понятной идея убывания предельной полезности товара по мере роста степени его несоответствия идеальному продукту покупателя. Во-вторых, линейные транспортные расходы не дают однозначного решения модели — равновесие оказывается нестабильным и не может быть достигнуто в долгосрочном периоде. Такого рода рынки существенно усложняют анализ, и это лежит за рамками нашей задачи.

Для предельного потребителя полная цена покупки у одной, либо у другой фирмы будет одинакова:

откуда получаем выражение для предельного потребителя:

Заметим, что

Доля рынка каждой фирмы увеличивается при изменении местоположения по направлению к центру города. Возникают стимулы к минимальной продуктовой дифференциации — явление, которое мы наблюдали в простой модели Хотеллинга.

Исходя из вышеприведенного значения предельной доли рынка каждой фирмы, получим соответствующие функции их прибылей:

где с — постоянные предельные издержки фирм.

На второй стадии игры фирмы выбирают оптимальные цены. Оптимальные цены будут удовлетворять условиям первого порядка максимизации функций прибыли для каждой фирмы:

откуда получаем равновесные цены

Мы видим, что равновесные цены зависят от местоположений фирм. Вернемся теперь к первой стадии игры — выбору фирмами оптимального местоположения. Подставив значения оптимальных цен, найденных на второй стадии игры, в функции прибыли каждой фирмы, можем получить соответствующие условия первого порядка по отношению к местоположению фирмы:

Откуда получаем оптимальные местоположения фирм — искомое равновесие

Это означает, что оптимальным местоположением каждой фирмы будет наибольшая удаленность друг от друга — наблюдается стремление фирм к максимальной продуктовой дифференциации.

Двухстадийную игру, представленную выше, можно свести к одной функции прибыли каждой фирмы, включающей две переменные — цену и местоположение. Подобный общий случай представляет собой модель Д'Аспремонта—Габцевича—Тиссе1.

Каждая фирма принимает во внимание, каким образом выбор местоположения ее магазина окажет влияние не только на ее функцию спроса, но и на степень ценовой конкуренции между фирмами. Прибыль каждой фирмы составит:

где а — местоположение i-й фирмы; b — местоположение j-й фирмы; Рi(а,b) — цена, назначаемая i-й фирмой; P_j(a,b) — цена, назначаемая j-й фирмой; С — величина средних и предельных издержек;

Di(a,b,Pi,Pj) — величина спроса на товар i-й фирмы.

Условие первого порядка максимума прибыли каждой фирмой даст такое выражение:

Откуда видно, что местоположение продавца при пространственной дифференциации оказывает двоякое воздействие на прибыль фирмы.

С одной стороны, действует эффект спроса — прямое влияние местоположения на объем спроса — dD-1/da и dD2/db. С другой стороны, возникает стратегический эффект — косвенное воздействие местоположения одного продавца на цену, которую устанавливает другой продавец:

— каждая фирма стремится переместиться влево, если она первоначально была расположена слева от другой фирмы, и вправо, если она первоначально была расположена справа от другой фирмы. Поэтому равновесие в модели Д'Аспремонта—Габцевича—Тиссе означает максимальную удаленность продавцов друг от друга — максимальную степень продуктовой дифференциации.

Таким образом, простая, исходная модель горизонтальной дифференциации товара дает своего рода «частичное» равновесие в линейном городе. Если фирмы свободны в выборе только одного параметра своего поведения — либо местоположения, либо цены, то мы получаем уравнивающий равновесный результат: продавцы или располагаются ближе друг к другу (минимальная степень продуктовой дифференциации), или назначают одинаковые цены с учетом транспортных издержек. Если же фирмы могут варьировать и местоположение и цены, равновесное состояние означает максимальную удаленность продавцов друг от друга, которая является следствием стратегического эффекта — цена, назначаемая одной фирмой, оказывает влияние на спрос другой фирмы.

Модель Салопа Предположим теперь, что на рынке действует М фирм, а потребители распределены равномерно вдоль окружности, окаймляющей город.Каждый потребитель предъявляет спрос на одну единицу товара. И каждая фирма продает одну единицу товара. Продукты разных фирм различаются только удаленностью от потенциального покупателя. Транспортные издержки линейны.

Если на рынке действует М равномерно расположенных фирм, расстояние между двумя соседними компаниями составляет величину 1/М. Тогда для предельного потребителя будет выполняться равенство , где Р; и Р — цены на товар у двух близлежащих фирм. Спрос предельного потребителя будет равен:

Аналогично предыдущему случаю можно найти равновесное значение цены рынка в условиях ценовой конкуренции: Р -C + t/M.

Это будет краткосрочное равновесие.

Рассмотрим теперь долгосрочное равновесие. В условиях свободного входа на рынок долгосрочная прибыль фирм должна равна нулю:

где F — постоянные издержки входа-выхода.

Подставим в выражение долгосрочной прибыли равновесное значение цены краткосрочного периода: t / М2 - F = О, откуда получим равновесное число фирм, действующих на рынке в долгосрочном периоде: М* = (t / F)1/2. Найдем равновесную цену долгосрочного периода: РLR *= С + (tF)1/2.

Таким образом, число фирм, действующих на рынке с дифференцированным продуктом, прямо пропорционально транспортным расходам и обратно пропорционально величине постоянных издержек. Цена товара возрастает при росте транспортных расходов и с увеличением постоянных издержек.

Параметр транспортных расходов в пространственной модели можно понимать:

· как величину транспортных издержек на провоз товара от места производства до места продажи;

· стоимость компенсации потребителя при замене более предпочитаемого товара на менее предпочитаемый;

· денежный эквивалент потери полезности потребителем, вынужденным довольствоваться другим товаром;

· сумма скидки, которую необходимо предоставить потребителю, чтобы он отказался от покупки предпочитаемого товара и купил другой продукт;

· социальные расходы местных властей;

· величина налоговых и других льгот, которые необходимо предоставить компании, чтобы удержать ее на местном рынке.

Задача, иллюстрирующая проблему

В линейном городе с N равномерно распределенными потребителями действует единственная фирма-монополист, выпускающая М разновидностей данного товара. Каждый потребитель хочет купить только 1 единицу товара. Потребители идентичны за исключением их местоположения. Резервная цена каждого потребителя равна V. Единичные издержки производства составляют с. Они постоянны и положительны. Предположим, монополист продает каждую марку товара через особый магазин. Транспортные издержки квадратичны. Для открытия одного магазина требуются постоянные затраты в размере F > 0. Эффект разнообразия отсутствует.

Какое оптимальное число магазинов следует открыть монополисту для максимизации прибыли?

Где монополист должен расположить каждый магазин?

Какую цену монополист должен назначить за единицу продукта?

Ответить на вопросы «а» — «с» для двух случаев:

· ценовая дискриминация отсутствует;

· монополист проводит ценовую дискриминацию.

Покажите, что при отсутствии ценовой дискриминации монополист будет производить излишне большое продуктовое разнообразие по сравнению с общественным оптимумом.