Оценка рыночной стоимости земельного участка под индивидуальное жилищное строительство с применением метода регрессионного анализа

Цель работы: изучить методику построения нелинейного уравнения множественной регрессии методом включения; освоить методы проверки адекватности построенной модели; научиться строить точечный и интервальный прогноз, используя полученную модель.

Задачи работы:

1.Методом регрессионного анализа (МРА) выполнить оценку рыночной стоимости земельного участка под индивидуальное жилищное строительство, расположенного в одном из районов Санкт-Петербурга.

2.Интерпретировать результаты решения.

Пояснение к лабораторной работе:

Каждый вариант содержит одну задачу. Исходные данные выдаются преподавателем. Необходимо провести анализ структуры представленных данных, построить модель, проверить её адекватность и провести прогноз (точечный и интервальный). Найти точечное прогнозное значение отклика при условии, что значение каждого значимого фактора меньше максимального значения значимого фактора на 10% величины размаха этого фактора. Интервальный прогноз построить с надежностью 95% при тех же значениях факторов.

Исходные данные для всех вариантов представлены в одной таблице, содержащей 18 столбцов и 120 строк. В первых двух столбцах указаны номер участка и его цена (т.руб./сот.), а остальные столбцы содержат значения факторов, характеризующих каждый участок. Перечень факторов:

1) наличие электричества;

2) наличие водопровода;

3) наличие газа;

4) наличие средств связи;

5) расстояние до ближайшего водного рекреационного объекта, км;

6) расстояние до административного центра, км;

7 расстояние до центра населенного пункта, км;

8) расстояние до ближайшей остановки общественного транспорта, км;

9) расстояние до транспортного узла, км;

10) расстояние до ближайшей торговой точки (магазина, рынка), км;

11) расстояние до медицинского пункта, км;

12) эстетичность ландшафта;

13) загрязненность используемой воды;

14) загрязненность атмосферного воздуха;

15) расстояние до линейных промышленных объектов, км;

16) попадание в зону воздействия промышленных объектов.

Каждый вариант включает 7 столбцов и 80 строк из исходной таблицы. Соответствие между вариантами и номерами строк и столбцов определяется данными табл. 4.

Таблица 4

Варианты заданий

№	Столбцы	Строки	№	Столбцы	Строки
	1,2,3,4,6,7,10	1-80		1,2,3,4,6,7,10	21-100
	1,2,4,6,7,10,11	11-90		1,2,4,6,7,10,11	31-110
	1,2,3,6,7,10,12	21-100		1,2,6,7,10,11,12	41-120
	1,2,4,6,7,10,13	31-110		1,2,6,7,10,11,13	1-80
	1,2,4,6,7,10,14	41-120		1,2,4,6,10,11,14	11-90
	1,2,3,6,7,10,15	1-80		1,2,3,6,10,11,15	21-100
	1,2,3,4,6,10,16	11-90		1,2,3,6,10,11,16	31-110
				1,2,6,7,10,12,13	41-120

Все основные теоретические сведения по построению и использованию уравнения множественной регрессии приведены в [2]. Главные отличия данной работы – это построение нелинейной модели методом включения и построение интервального прогноза.

Множественная регрессия – уравнение связи зависимой переменной с независимыми переменными :

(6)

В зависимости от вида различают линейные и нелинейные уравнения.

Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

(7)

где: - параметры уравнения

Частным видом нелинейного уравнения множественной регрессии является уравнение вида:

(8)

(9)

где: - коэффициенты регрессии.

Таким образом, в аддитивную модель входят или сами факторы или их логарифмы. Использование логарифма фактора , если фактор качественный, не имеет смысла. В качестве используем единичный вектор, содержащий n единиц, где n - количество наблюдений, тогда смысл - свободный член в уравнении регрессии.

Пусть исходные данные приведены в виде таблицы содержащей данные по 114 участкам. Фрагмент таблицы приведен на рис. 1.

Уравнения множественной регрессии могут включать в качестве независимых переменных фиктивные переменные, которые используются для обозначения качественные признаков (наличие электричества, воды, канализации, и др.). Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель присвоим им значения «1» - если данный фактор присутствует, «0» - в противоположном случае.

Рис.1. Исходные данные

Для выявления связей между факторами и откликом проведем предварительный анализ, используя инструмент «Анализ данных» >Корреляция. Результат приведен на рис.2.

Рис.2. Исходные данные

Анализ коэффициентов парной корреляции показывает, что отклик (цена) заметно коррелирует с факторами «наличие электричества», «наличие воды» и «расстояние до административного центра» (коэффициенты парной корреляции по модулю выше 0.4). Судя по вычисленному коэффициенту корреляции между ценой и фактором «наличие газа» (он практически равен нулю), связь между ними отсутствует. Фактор «наличие средств связи» заметно коррелирован с факторами «наличие электричества» и «наличие воды», что служит доводом в пользу наличия мультиколлинеарности между факторами.

Для построения модели будем использовать пошаговый метод включения, который позволяет избежать включения в уравнение малоинформативных факторов и мультиколлинеарности между ними.

Суть метода включения — в последовательном включении переменных в модель до тех пор, пока качество регрессионной модели будет повышаться. Первыми включаются в регрессионное уравнение факторы, имеющие относительно исследуемого показателя большее значение коэффициента корреляции.

Схема применения этого метода включения для линейной модели подробно описана в [2]. В отличие от чисто линейной модели на каждом шаге необходимо пытаться включить в уравнение не только сам фактор, но и его логарифм (для факторов, не являющихся качественными переменными).

Пусть k – номер шага. На k -м шаге (k =1) с помощью табличной функции ЛИНЕЙН() найдем наиболее информативную переменную среди и . Методом перебора устанавливаем, что это (рис. 3).

Рис. 3.

2-й шаг (k=2). Среди всевозможных пар (, ), и (, ) выбирается наиболее информативная пара, путем последовательного применения табличной функции ЛИНЕЙН к различным парам.

Анализируя R ², приходим к выводу, что наиболее информативной парой является пара (, ) (рис. 4).

Рис. 4

С включением коэффициент детерминации существенно вырос, следовательно, это правильное решение.

3-й шаг (k =3). Среди всевозможных троек (, , ), и (, , ), выбирается наиболее информативная (в смысле R ²) тройка. Последовательно применяя табличную функцию ЛИНЕЙН к различным тройкам, приходим к выводу, что наиболее информативной тройкой является (, , ) (рис.5).

С включением x₂ коэффициент детерминации существенно вырос, следовательно, его включение оправдано без анализа R ²_adj.

4-й шаг (k=4). Среди всевозможных четвёрок (, , , ) и (, , , ), ищется наиболее информативная, путем последовательного применения табличной функции ЛИНЕЙН к различным четвёркам.

Наиболее информативной четвёркой является (, , , ) (рис. 6-7).

Рис. 5

Рис. 6

С включением ln(x₁₀) коэффициент детерминации R ² существенно вырос, с 0,717 до 0,73, следовательно, его включение оправдано без анализа R ²_adj.

5-й шаг (k =5). При добавлении пятой переменной в уравнение регрессии среди всевозможных комбинаций (х₁, ln(x₆), х₂, ln(x₁₀), x_j) и (х₁, ln(x₆), х₂, ln(x₁₀), ln(x_j)), не удалось найти такую, которая существенно улучшает модель.

Поэтому, более подробно исследуем уравнение, полученное после 4-х шагов.

, (10)

_.Рис. 7

(11)

Для исследования этой модели, применив инструмент “Регрессия” надстройки «Пакет Анализа» MS Excel (рис. 8). Коэффициент детерминации R² равен 0,732. Это значение показывает, что 73,2% вариации цены объясняется этим уравнением. Высокое качество уравнения, также подтверждается значимостью уравнения в целом (значимость F существенно ниже уровня значимости в 5%). На рис. 8-9 представлен фрагмент отчёта регрессии по четырем указанным факторам.

В уравнении (11) все коэффициенты значимы, на уровне значимости 5%. Необходимо заметить, что коэффициент при x₁₀ наименее значим (р -значение равно 1,7%).