Необходимые условия экстремума функционала

Среди допустимых кривых х (t), принадлежащих множеству М, требуется найти кривую х* (t), на которой функционал (13.2) достигает экстремума, т.е.

I [ х* (t)] = .

(13.3)

Так как на кривые х (t), образующие множество М, не наложено дополнительных условий, кроме граничных, задача (13.3) называется задачей поиска б езусловного экстремума.

Обозначим х* (t) – кривую, на которой достигается экстремум функционала. Тогда допустимая кривая определяется по формуле (1.4): х (t) = х* (t) + х (t), а ее производная х’ (t) = х*’ (t) + х’ (t), где х (t)– фиксированная вариация кривой, х’ (t)= (х (t)) ’ – производная вариации.

Можно показать, что кривая х *(t), на которой достигается экстремум функционала, удовлетворяет уравнению

= 0.

(13.9)

Уравнение (13.9) называется уравнением Эйлера. Если функция х *(t) дважды дифференцируемая, то уравнение (13.9) можно записать в развернутой форме

Fx – Fx’t – Fx’x x’ – F x’x’ x’’ = 0

(13.10)

и при F _x’x’ ¹ 0 представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение х = х (t, С ₁, С ₂) зависит от двух произвольных постоянных С ₁и С ₂и определяет двухпараметрическое семейство экстремалей. Два граничных условия х (t ₀) = x ₀ и х(Т) = x_Т позволяют найти постоянные С ₁и С ₂и, как следствие, кривую х *(t), на которой может достигаться экстремум функционала. Только на удовлетворяющих граничным условиям экстремалях может реализовываться экстремум. Чтобы выяснить, достигается ли на экстремали экстремум функционала, а если да, то какой (минимум или максимум), следует использовать достаточные условия.

Теорема 2.1 (необходимые условия экстремума в задаче (13.3)).

Если на кривой х*(t) Î С ¹([ t ₀ ,Т ]), удовлетворяющей граничным условиям х *(t ₀) = х ₀, х*(Т) = x_Т, достигается слабый экстремум функционала в задаче (13.3), то она удовлетворяет уравнению Эйлера

= 0.

Алгоритм применения необходимых условий экстремума в задаче (13.3)

1. Найти F_x, F_x’, d/dt F_x’ и записать уравнение Эйлера

= 0.

Если функция F(t, х, х’) соответствует какому-либо случаю интегрируемости, можно использовать соотношения (13.1 1)–(13. 15).

2. Найти общее решение уравнения Эйлера х = х(t, С ₁, С ₂ ), где С ₁и С ₂– произвольные постоянные.

3. Определять постоянные С ₁и С ₂из граничных условий, решая систему

х(t ₀, С ₁, С ₂ )= x ₀,

х(T, С ₁, С ₂ )= x_T.

В результате получить экстремаль х*(t), на которой может достигаться экстремум функционала.