Общая постановка задачи вариационного исчисления

На практике существуют задачи оптимизации, в которых не удается описать качество выбранного решения с помощью целевой функции (ЦФ). В этих задачах критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо так, чтобы критерий принял минимальное или максимальное значение.

Вариационными задачами называются задачи о поиске экстремума функционалов, т.е. величин, численное значение которых определяется выбором одной или нескольких функций.

Пример 1.1. На плоскости (t, x) заданы две точки (t ₀, x ₀), (T, x_T). Требуется соединить эти две точки гладкой кривой, имеющей наименьшую длину (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Длина кривой, соединяющей две заданные точки, находится по формуле

Таким образом, решение задачи сводится к определению такой непрерывной функции х* (t), имеющей на отрезке [ t ₀, T ] непрерывную производную и удовлетворяющей заданным граничным условиям х (t ₀) = х ₀, х (Т) = х_Т, на которой критерий I [ х (t)] примет минимальное значение. Критерий зависит от функции х (t) и представляет собой функционал. Очевидно, решением является прямая х *(t), соединяющая две заданные точки.

Переменная I [ х (t)] называется функционалом, зависящим от функции х (t), если каждой кривой из заданного класса функций M соответствует вполне определенное действительное значение I, т.е. функции х (t) соответствует число.

Класс M функций (кривых), на которых определен функционал, называется его областью определения.

Кривые х (t), на которых сравниваются значения функционала, называются допустимыми кривыми или кривыми сравнения.

Обозначим через х *(t) допустимую кривую, на которой функционал достигает экстремума, а через х (t) произвольную допустимую кривую. Разность х (t) – х *(t) = d х (t) называется вариацией кривой х *(t).

Вариация d х (t) есть функция t и принадлежит тому же функциональному пространству, что и функция х(t). Используя вариацию d х (t), можно, представить любую допустимую кривую х (t) в виде

х (t)= х *(t) + d х (t).

Назовем приращением функционала D I разность

D I = I [ х (t)] – I [ х* (t)] = I [ х* (t) + d х (t)] – I [ х* (t)].