Замечания 1.4

1. Функцию f(x) называют выпуклой, если она целиком лежит не выше отрезка, соединяющего две ее произвольные точки. Функцию называют строго выпуклой, если она целиком лежит ниже отрезка, соединяющего две ее произвольные, но не совпадающие точки.

2.Если функция сильно выпуклая, то она одновременно строго выпуклая и выпуклая. Если функция строго выпуклая, то она одновременно выпуклая.

3.Выпуклость функции можно определить по матрице Гессе:

если Н(х) > 0 , то функция выпуклая;

если Н(х) > 0 , то функция строго выпуклая;

если Н {х) >lE , где Е - единичная матрица, то функция сильно выпуклая.

4 Экстремальные свойства выпуклых функций(теорема о глобальном и локальном минимуме).

Определение 1.1.Точка называется точкой глобального (абсолютного) минимума функции f(x) на множестве X, если функция достигает в этой точке своего наименьшего значения, т.е.

.

Определение 1.2. Точка называется точкой локального (относительного) минимума функции f(x) на множестве X, если существует , такое, что если и , то . Здесь - евклидова норма вектора х.

В определении 1.1 точка х* сравнивается со всеми точками из множества допустимых решений X, а в определении 1.2 - только с принадлежащими - окрестности (рис.. 1.2).

1. Если в определениях 1.1 и 1.2 знак неравенства заменить на >, то получатся определения глобального (абсолютного) и локального (относительного) максимумов.

2. Глобальный экстремум всегда является одновременно локальным, но не наоборот.

Определение 1.3. Поверхностью уровня функции f(x) называется множество точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е. f(х) = const. Если п = 2, поверхность уровня изображается линией уровня на плоскости R².