Поиск безусловного экстремума функционала, зависящего от одной функции

Говорят, что функционал I [ х (t)], определенный на классе M кривых х (t), достигает на кривой х *(t) глобального минимума (максимума), если

I [ x *(t)] < I [ x (t)] { I [ x *(t)] > I [ x (t)]} " x (t) Î M.

Понятие локального минимума (максимума) связано с исследованием поведения функционала на близких кривых. Различают сильный и слабый локальный минимум (максимум).

Говорят, что функционал I [ x (t)] достигает на кривой x *(t) сильного минимума (максимума), если I [ x *(t)] < I [ x (t)] { I [ x *(t)] > I [ x (t)]} в e-окрестности нулевого порядка кривой х *(t).

Говорят, что функционал I [ x (t)] достигает на кривой x *(t) слабого минимума (максимума), если I [ x *(t)] < I [ x (t)] { I [ x *(t)] > I [ x (t)]} в e-окрестности первого порядка кривой х *(t).

Локальные минимумы и максимумы функционала называются его локальными экстремумами.

Рассмотрим множество М допустимых функций (кривых) х (t), удовлетворяющих следующим условиям:

а) функции х (t) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке где [ t ₀, T ] t ₀ и Т заданы, т.е. х (t) Î С ¹([ t ₀ ,Т ]);

б) функции х (t) удовлетворяют граничным условиям

х (t 0) = х 0, х(Т) = xT,

(13.1)

где значения х ₀, х_Т заданы, т.е. кривые проходят через две закрепленные граничные точки.

На множестве M задан функционал

I [ х (t)] = ,

(13.2)

где подынтегральная функция F(t, х, х’) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.

Среди допустимых кривых х (t), принадлежащих множеству М, требуется найти кривую х* (t), на которой функционал (13.2) достигает экстремума, т.е.

I [ х* (t)] = .

(13.3)

Так как на кривые х (t), образующие множество М, не наложено дополнительных условий, кроме граничных, задача (13.3) называется задачей поиска б езусловного экстремума.

СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Стратегия поиска решения задачи (13.3) состоит в определении первой вариации dI функционала I [ х (t)]и приравнивании ее к нулю согласно теореме 1.1 о необходимом условии экстремума функционала. В результате получаются соотношения, позволяющие найти кривые, «подозрительные» на наличие экстремума функционала.

С помощью анализа второй вариации функционала выводятся различные достаточные условия экстремума, позволяющие сделать вывод о достижении сильного или слабого минимума или максимума.