Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества

Множество называется выпуклым, если оно содержит всякий отрезок, концы которого принадлежат X, т.е. если для любых x^l,x² X и 0 < λ < 1 справедливо . Примерами выпуклых множеств служат также само пространство , отрезок, прямая, шар.

Определение 1.2. Функция f (x), определенная на выпуклом множестве X, называется выпуклой, если f(λx¹ + (1 - λ)х²) < λf(x¹) + (1 - λ)f(x²) , 0<λ<1.

Определение 1.3. Функция f(x), определенная на выпуклом множестве X, называется строго выпуклой, если f(λx¹ + (1 - λ)х²) < λf(x¹) + (1 - λ)f(x²), , 0 < λ < 1.

Определение 1.4. Функция f(x), определенная на выпуклом множестве X, называется сильно выпуклой с константой l > 0, если

, х¹ х², 0 < λ < 1.