Программа учебной дисциплины

Методы оптимальных решений

Формализация проблем управления в экономике

Математическое описание экономических объектов. Управляемые и прогнозные модели. Управляемость и большая размерность. Непрерывное и дискретное время. Основные разделы описания: материальный, финансовый и социальный. Описание внешней среды. Элементы экономики и элементы описания. Продукты и выпуски. Основные фонды и мощность. Оператор планирования и оператор функционирования. Простейшая однопродуктовая схема. Простейший оператор планирования. Процедура объединения элементов. Аппроксимация описаний. Схемы принятия управленческих решений. Теоретико-управленческие начала. Стандартная форма описания схем экономического управления. Планирование и оперативное управление. Примеры формализации. Задача о штатах фирмы. Задача о кредите.

Математическое программирование

Общие положения. Основные понятия. Числовые (скалярные) функции

многих вещественных переменных. Геометрическое изображение функции двух

вещественных переменных. Линии постоянного уровня, максимумы, минимумы

и точки перевала. Пределы и непрерывность функции многих вещественных переменных. Полное и частичное приращение функции многих переменных, частные произ- водные. Дифференцируемость функции многих вещественных переменных. Не- обходимое и достаточное условия дифференцируемости. Первый и второй диф- ференциалы функции многих переменных. Производная по направлению и гра- диент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Внутренние, граничные, локальные и глобальные максимумы и миниму- мы. Необходимые и достаточные условия существования внутренних точек экс- тремума. Критерий Сильвестера.

Условные экстремумы функций многих вещественных переменных, урав

нения связи. Решение задач на условный экстремум методом непосредственного исключения функционально зависимых переменных при помощи дополнитель- ных условий. Метод неопределенных множителей и сведение задач на условный экстремум к отысканию безусловных максимумов и минимумов вспомогатель- ной функции Лагранжа.Понятие об итерационных методах поиска условных и безусловных максимумов и минимумов функций на ЭВМ. Метод простой интеграции, метод Ньютона-Канторовича, метод наискорейшего спуска и метод случайного поиска.

Линейное и целочисленное программирование

Общая задача оптимизации и линейное программирование (ЛП). Поста-

новка общей задачи оптимизации и задачи линейного программирования. Эко-

номические примеры задач линейного программирования

Задача линейного программирования и ее свойства. Общая формулиров- ка задачи ЛП и две ее разновидности: каноническая задача ЛП, стандартная за- дача ЛП. Геометрические свойства задачи ЛП. Вид множества оптимальных ре- шений.

Графический и симплекс-метод решения задач линейного программиро-

вания. Симплексные таблицы. Алгоритм симплекс-метода решения канониче-

ской задачи ЛП с помощью симплексных таблиц.

Двойственные задачи. Правила постановки двойственных задач и их

роль при анализе соответственных им прямых задач ЛП.

Метод искусственного базиса нахождения угловой точки канонической

задачи ЛП.

Транспортные задачи. Метод опорного плана и метод северо-западного

угла.

Методы построения первоначального базисного плана транспортной за-

дачи. Алгоритм метода потенциалов.

Динамическое программирование

Метод динамического программирования Беллмана для дискретных про-

цессов оптимального управления.

Уравнение Беллмана для конечно-разностных систем. Принцип опти- мальности. Рекурсивная процедура для канонической задачи в дискретном вре- мени. Распространение процедуры на критерий Больца.

Обобщение беллмановской процедуры на задачи с фазовыми и смешан- ными ограничениями. О происхождении фазовых и смешанных ограничений. Общая схема. Решение статических задач распределения ресурсов методом ди- намического программирования. Задача управления запасами.

Уравнение Беллмана в непрерывном времени. Вывод уравнения Беллма- на для канонической задачи. Решение примера в непрерывном времени. Уравне- ние Беллмана и принцип максимума Понтрягина..

Вероятностное планирование

Общие положения вероятностного планирования. Априорная информа-

ция о возмущениях. Схема управления. Оптимизация в среднем. Вероятностно гарантирующий подход к планированию. Вероятностно-гарантирующие

решения дискретных задач с конечным множеством возмущений и планов Универсальная формулировка задачи о вероятностно-гарантирующем планировании. Жесткие и нежесткие ограничения на управление. Возможный диапазон наилучших вероятностно-гарантирующих оценок. Достаточные усло- вия предельной тождественности. Примеры отсутствия предельной тождествен- ности. Характер сходимости вероятностного решения к гарантирующему

Матричные игры

Стратегии игры. Матричные игры. Верхняя и нижняя цена игры. Седловая точка. Оптимальная стратегия. Игры с природой. Критерий Лапласа, принцип максимакса, критерий максимаксного риска. Кооперативные игры. Характеристическая функция и её свойства.

Плоские графы

Способы задания графа. Изоморфизмы графов. Связность графа. Плоский граф. Рёбра и грани графа. Эйлеров путь, цикл и эйлеров граф. Гамильтонов путь и гамильтоновы графы. Ориентированные графы. Орграфы.Сетевые графики как динамическая модель производственного процесса. Основные понятия работа, события, пути. Критический путь. Стандартные обозначения. Двудольные графы и сети Петри. Виды сетей Петри.

Системы массового обслуживания

Случайная последовательность событий. Поток однородных событий. Простейший поток Пуассона. Мгновенная плотность потока. Формула Литтла.

Марковские процессы. Матрица переходных вероятностей Задачи анализа замкнутых и разомкнутых цепей массового обслуживания. Нахождение ста- ционарных вероятностей.

Микроэкономические модели

Функции полезности. Кривые безразличия. Функции спроса и предложе-

ния. Кривые «доход-потребление». Кривые «цены-потребление». Коэффициенты

эластичности.

Материальные балансы. Функции выпуска продукции. Производствен- ные функции затрат ресурсов Линейные, мультипликативно-степенные произ- водственные функции. Равновесные траектории.

Макроэкономические модели

Модели общего экономического равновесия. Статическая и динамиче-

ская модели межотраслевого баланса. Матрица межотраслевого баланса в моде-

ли Леонтьева как пример замкнутой статической модели межотраслевого балан-

са.

Динамическая модель расширяющейся экономики Неймана. Оптимиза-

ция производственного процесса внутри планового периода.