Глава 7. Динамические модели

В предыдущей главе мы рассматривали модели, которые явля­ются статическим отражением систем в определенные моменты времени. В этом смысле рассмотренные варианты модели «черного ящика», модели состава и структурной модели называют статиче­скими моделями, что подчеркивает их неподвижность.

Следующий шаг в исследовании системы состоит в том, чтобы понять и описать, как система «работает», выполняя свое предна­значение. Такие модели должны описывать поведение системы, фиксировать изменения, происходящие с течением времени, улав­ливать причинно-следственные связи, адекватно отражать последо­вательность протекаемых в системе процессов и этапность ее разви­тия. Такого рода модели называют динамическими. При исследова­нии конкретной системы необходимо определить направление воз­можных изменений ситуации. Если такой перечень будет исчерпы­вающим, то он характеризует число степеней свободы, а значит, достаточен для описания состояния системы. Как оказалось, дина­мические модели делятся на такие же типы, как статические («чер­ного ящика», состава и «белого ящика»), только элементы этих мо­делей имеют временной характер.

7.1. Динамическая модель «черного ящика»

При математическом моделировании динамической системы ее конкретная реализация описывается в виде соответствия между возможными значениями некоторой интегральной характеристики системы с и моментами времени t. Если обозначить через С — множество возможных значений с, а через Т — упорядоченное множество моментов времени t, то построение модели динамиче­ской системы равносильно построению отображения

где — значение интегральной характеристики в точке

В динамической модели «черного ящика» предполагается раз­биение входного потока х на две составляющие: u — управляемые входы, v — неуправляемые входы (рис 7.1).

Таким образом, она выражается совокупностью двух процессов:

Если даже считать y(t) результатом некоторого преобразования Ф процесса x(t), т.е.

то в модели "черного ящика" предполагается, что это преобразование не известно.

Из данного типа моделей в наибольшей мере изучены так назы­ваемые безынерционные системы. Они не учитывают фактора време­ни и работают по схеме «если-то». Например: если воду нагреть до

100° С, то она закипит. Или: если вы правильно авторизовали свою кредитную карту, то банкомат вам сразу выдаст затребованную сумму денег. То есть следствие вступает в силу сразу за причиной.

Определение 1. Динамическая система называется безынерцион­ной, если она мгновенно преобразует вход в выход, т.е. если y(t)

является функцией только x(t) в тот же момент времени.

Поиск неизвестной функции y(t) = Ф(х(t)) осуществляется по­средством наблюдения входов и выходов исследуемой системы. По существу, эта задача о переходе от модели «черного ящика» к моде­ли «белого ящика» по наблюдениям входов и выходов при наличии информации о безынерционности системы.

Однако класс безынерционных систем весьма узок. В экономи­ке такие системы очень большая редкость. Разве только отдельные биржевые операции с некоторой натяжкой можно причислить к классу безинерционных.

При моделировании экономических систем необходимо пом­нить, что в них всегда присутствует задержка и, более того, следст­вие (результат) может проявиться совсем не в том месте, где его ожидали. Таким образом, имея дело с экономическими системами, нужно быть готовым к тому, что последствия могут отстоять от вы­звавшей их причины во времени и пространстве.

98-99 не распознал

удается в рамках построения так называемых лаговых моделеи, кото­рые изучает математическая статистика.

7.2. Динамическая модель состава

В теории систем различают два вида динамики: функциониро­вание и развитие. Под функционированием подразумевают процессы, которые происходят в системе, стабильно реализующей фиксиро­ванную цель (функционирует предприятие, функционируют часы, функционирует городской транспорт и т.п.). Под развитием пони­мают изменение состояния системы, обусловленное внешними и внутренними причинами. Развитие, как правило, связывают с дви­жением систем в фазовом пространстве.

Исследованием функционирования экономических систем заня­ты специалисты в области экономического анализа. Исходную базу для этого исследования составляют данные бухгалтерского учета, статистической отчетности и статистических наблюдений. В боль­шинстве случаев задача экономического анализа решается аналити­ческими методами бухгалтерского учета или сводится к построению реализации корреляционно-регрессионных моделей. Богатейший инструментарий экономического анализа изучается в рамках ряда дисциплин цикла «Бухгалтерский учет и статистика».

Развитие в большинстве случаев обусловлено изменением внешних целей системы. Характерной чертой развития является то, что существующая структура перестает соответствовать новым це­лям и для обеспечения необходимого соответствия приходится изменять структуру системы, т.е. осуществлять ее реорганизацию. Экономические системы (предприятия, организации, корпоративные образования) в условиях рыночной экономики для выживания в конкурентной борьбе должны постоянно находиться в фазе развития. Только постоянное обновление ассортимента выпускаемой продукции или оказываемых услуг, совершенствование технологии производства и методов управления, повышение квалификации и образованности персонала могут обеспечить экономической системе определенные конкурентные преимущества и расширенное воспроизводство.

В данном параграфе, не отрицая значимости фазы функционирования системы, большей частью будем вести речь о фазе ее развития, хотя при расширенном толковании функционирования системы как движения к намеченной цели (плану) приведенные ниже рассуждения вполне применимы к моделированию фазы функционирования системы.

Динамическому варианту модели состава соответствует перечень этапов развития или состояний системы на моделируемом интерва­ле времени. Под состоянием системы будем понимать такую сово­купность параметров, характеризующих пространственное положе­ние системы, которая исчерпывающе определяет ее текущее позицирование.

Фиксация состояния определяется посредством введения раз­личных переменных, каждая из которых отражает какую-то одну существенную сторону исследуемой системы. В данном случае важ­на исчерпываемость описания для раскрытия того назначения сис­темы, которое подвергается исследованию в рамках данной модели.

Наиболее наглядно состояние системы определяется через сте­пени свободы. Это понятие введено в механике и означает число независимых координат, однозначно описывающих положение сис­темы. Так, твердое тело в механике есть система с шестью степеня­ми свободы: три линейные координаты фиксируют положение цен­тра масс, а три угловые — положение тела относительно центра масс.

В экономических исследованиях каждую координату (степень свободы) связывают с определенным показателем (количественно измеряемой характеристикой системы). Ключевая задача при этом заключается в том, чтобы обеспечить независимость показателей, отобранных для построения модели системы. Поэтому необходимо глубоко понимать природу экономических явлений и отражающих их показателей, чтобы правильно сформировать базис для построе­ния модели состава экономической системы.

Развитие системы есть не привычное перемещение, а некоторая абстракция, описывающая изменение ее состояния. Таким образом, динамические свойства объекта характеризуются через изменение параметров состояния во времени. На рис. 7.3 приведено графиче­ское отображение движения системы в трехмерном пространстве (в теории систем такое пространство называют пространством состоя­ний, или фазовым пространством).

Тогда состояние системы в момент времени ts описывается

вектором Аналогично описываются ее началь­ное С_н и конечное С_к состояния, а изменения в системе отобра­жаются некоторой кривой — траекторией развития. Каждая точка этой кривой фиксирует состояние системы в определенный момент времени. Тогда движение системы эквивалентно перемещению точ­ки по траектории.