Динамика твердого тела

Цель – освоить понятия момента инерции, момента импульса и момента силы и методику описания плоского движения твердого тела (вращение вокруг неподвижной оси).

Указания к организации самостоятельной работы.

Основные представления о динамике твердого тела изложены в [1, §27 – 29, 36 – 44; 2, §4.1 – 4.3].

Существует глубокая аналогия между динамикой поступательного движения тела и динамикой вращательного движения. Она обычно иллюстрируется таблицей.

Движение
поступательное	вращательное

Основной закон динамики

Закон сохранения импульса

Работа и мощность

Кинетическая энергия

Эта аналогия может быть использована и при решении задач (см. занятие № 2).

Вопросы для экспресс – контроля.

1. В каких единицах измеряется момент инерции?

2. Дайте определение момента силы и момента импульса и представьте их на рисунке.

3. Сформулируйте уравнение моментов – основное уравнение динамики вращательного движения.

4. Сравните определения момента инерции материальной точки и твердого тела.

5. Как формулируется теорема Штейнера и где она применяется?

6. Дайте формулировку закона сохранения момента импульса.

7. Укажите размерность момента импульса.

8. Есть ли в классической механике физическая величина, имеющая такую же размерность, как и момент импульса?

9. Сравните выражения для работы при поступательном и вращательном движении тела.

10. Проведите аналогию для кинетической энергии при поступательном и вращательном движении тела.

1. (*)Однородный диск радиусом R имеет круглый вырез как это показано на рис. Масса оставшейся (заштрихованной) части диска m. Найти момент инерции такого диска относительно оси, проходящей через его центр инерции перпендикулярно плоскости диска.

2. Определить момент инерции тонкой плоской пластины со сторонами а=10 см. и в=20 см. относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большой стороне. Масса пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью кг/м².

3. (*) Через неподвижный блок массой m=0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁=0,3 кг и m₂=0,5 кг. Определить силы натяжения шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

4. На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противоположных направлениях две легкие нити, нагруженные массами m₁ и m₂. Найти угловое ускорение блока и силы натяжения нитей, если момент инерции блока .

5. (*) Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m₁ = 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную точку на платформе. Масса m₂ платформы равна 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

6. (*)Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центр. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны I₁ и I₂, а угловые скорости и . После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти:

1) установившуюся угловую скорость вращения дисков;

2) работу, которую совершили при этом силы трения.

7. (*)Тонкий однородный стержень длиною и массой m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить зависимость углового ускорения, угловой скорости и величины силы реакции опоры от угла поворота стержня. Найти угловое ускорение , угловую скорость , модуль и направление силы реакции опоры в начальный момент времени и при прохождении стержнем положения равновесия.

8. (*)С одного уровня наклонной плоскости одновременно скатываются без скольжения сплошной цилиндр и шар одинаковых радиусов. Какое из этих тел раньше достигнет основания наклонной плоскости? Как будут отличаться время скатывания шара и цилиндра?