Задание 3.13

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t = a ₀+ a ₁ х_t + e_t (t =1,..., Т)

имеется T =18 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.5 (см. задание 3.12).

Требуется:

1. Проверить при уровне значимости a =0,10 гипотезу об отсутствии автокорреляции первого порядка у ошибок e_t.

2. Проверить при уровне значимости a =0,05 гипотезу о наличие негативной автокорреляции ошибок линейного регрессионного уравнения с тремя экзогенными переменными, если для 20 наблюдений получены следующие остатки: 0,8; –1,2; 0,0; –0,6; 1,1; 0,9; 0,2; 0,4; –0,6; 0,1; –0,7; 1,4; 1,0; 1,5; –0,8; 0,2; –1,4; 0,3; 0,8; –1.

^* Т. е. ошибка обладает нулевым математическим ожиданием M[ e_t ]=0, ее дисперсия постоянна на всех участках рассматриваемого периода времени, а разновременные значения e_t и e_t–j, j =1,2,…; независимы.

^* В этом случае значения факторов будут обозначаться как х_{i, t– 1}, х_{i, t– 2},...

^** ()¢ означает операцию транспонирования.

^* Определение значений оценок параметров эконометрической модели осуществляется на основе исходной информации, выражаемой вектором у и матрицей Х, сформированных из наблюдаемых значений зависимой и независимых переменных.

^* Вероятность р_* в данном случае определяет границы области принятия гипотезы, р_* – вероятность того, что при t < t_* (k) гипотеза оказывается верной, т. е. 1– р_* – вероятность ошибки.

^* Как было отмечено выше принятие решения о “целесообразности” удаления незначимого фактора основывается на анализе и ряда других критериев.

^* Для некоторых классов эконометрических моделей (например, моделей временных рядов, моделей финансовой эконометрики) при выявлении соответствия модели и процесса основную роль играет также степень совпадения теоретических свойств модели со свойствами описываемого ею процесса (см. главы VI и VII).

^* Следует, однако, отметить, что данные показатели корректно рассчитываются лишь в случае ошибки, в ряду которой отсутствуют автокорреляционные связи. Если же такие связи имеют место, то, вообще говоря, их расчетные значения, определяемые по приведенным ниже формулам, содержат ошибку, величина которой зависит от силы этой связи.

^* В таком случае в качестве “меры точности аппроксимации” следовало бы использовать выражение , где – значение ковариации ошибок e_t и e_{t + i} .

^* При этом увеличение объема выборки не должно нарушать ее однородность в том смысле, что закономерности рассматриваемых процессов являются теми же, как на “меньшей” выборке, так и на “большей”.

^* Напомним, что асимптотическая несмещенность оценок является достаточным условием их состоятельности.

^* Напомним, что первый выборочный коэффициент автокорреляции ошибки рассчитывается по следующей формуле:

^* G ²=[ E _T – Х ×(Х ¢ Х)^–1× Х ¢]²= E _T –2 Х ×(Х ¢ Х)^–1× Х ¢+ Х ×(Х ¢ Х)^–1× Х ¢ Х ×(Х ¢ Х)^–1× Х ¢= E _T – Х ×(Х ¢ Х)^–1× Х ¢= G.

^* Это делается путем подстановки данного выражения в (2.99) и непосредственного перемножения матриц с учетом правила их транспонирования.

^* Дисперсия переменной y_t в точке t может рассматривать как характеристика, построенная на множестве выборочных оценок математических ожиданий M [ y_t ] при соответствующих вариантах оценок их параметров, т.е. как

,

где R – количество возможных вариантов оценок параметров и M_r [ y_t ]= – выборочное математическое ожидание переменной y_t в r -м варианте. Аналогичным образом могут быть проинтерпретированы и определены и ковариации значений y_t и y_{t + j} , t =1, 2,... Т; j = 1, 2,..., T –1

^* Доказательство справедливости выражения (2.119) приведено в разделе 2.3.

^** Состоятельность в данном случае характеризует определенное свойство функции правдоподобия, связанное с увеличением ряда наблюдений переменных модели при условии однородности выборки. Оно состоит в том, что с ростом Т максимальное значение этой функции (т. е. в точке оптимума) все более значительно превосходит ее значения в точках с другими неоптимальными значениями ее параметров.

^* Напомним, что положительно определенная матрица невырождена, имеет положительный определитель и положительные главные миноры. Положительная определенность матрицы W вытекает из ее симметричности.