Задание 3.10

Имеется линейное уравнение множественной регрессии

y_t = a ₀+ a ₁ х _{1 t} +...+ a_n х_nt + e_t (t =1,..., Т),

для ошибок которого выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка, параметр r известен. Для оценивания параметров a ₀, a ₁,..., a_n предлагается провести следующее преобразование: из t -го уравнения вычесть t –1-e уравнение, умноженное на r, t =1,..., Т, т. е. осуществить переход к обобщенным первым разностям.

Требуется:

1. Определить матрицу преобразований T _r, с помощью которой осуществляется переход к модифицированному уравнению.

2. Определить “оптимальные” оценки параметров модифицированного уравнения и показать, как от них можно перейти к оценкам параметров исходного уравнения.

3. Определить “оптимальные” оценки параметров исходного уравнения и сравнить их с оценками из п. 3.

Задание 3.11

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t = a ₀+ a ₁ х_t + e_t (t =1,..., Т)

имеется T =12 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

хt	5,0	2,5	1,8	6,8	9,0	3,8	6,5	9,0	1,0	3,5	7,1
yt	5,0	4,8	3,1	8,2	8,6	5,5	6,5	11,1	2,1	4,5	8,9	11,8

Для ошибки уравнения e_t выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка с известными значениями r =–0,4 и s_e ² =1.

Требуется:

1. Оценить параметры уравнения a ₀ и a ₁ с помощью обобщенного МНК.

2. Оценить параметры уравнения a ₀ и a ₁ с помощью модифицированного уравнения из задачи 3.10.

3. Определить ошибки, которые возникают при использовании классического МНК и оценивания из п. 2 по сравнению с “оптимальными” оценками из п. 1.