Расчёт стойки на устойчивость по допускаемым напряжениям

Стальная стойка (рис. 1) имеет в главных плоскостях zxи zyразные условия закрепления концов (рис. 2) и форму поперечного сечения, изображенную на рис. 3. Модуль упругости материала Е = 200 ГПа. Определить из расчёта на устойчивость, используя коэффициент снижения основного допускаемого напряжения j, допускаемое значение силы [F]; вычислить коэффициент запаса по устойчивости.

Расчётная схема

Рис. 1	Рис. 2	Рис. 3

Исходные данные

a, b– параметры формулы Ясинского

Второе число шифра	Форма поперечного сечения	Марка стали	sт МПа	sпц МПа	nт	a МПа	b МПа
	V	Ст4			2,0		1,11

Первое число шифра	Схема закрепления в плоскости	l м
zx	zy
			2,5

Решение

Допускаемое значение силы должно удовлетворять условию устойчивости

Отсюда

F = [F] = [ ] A.

Из таблицы «Швеллеры стальные горячекатаные (ГОСТ 8240 – 89)» возьмём данные

А₁ = 7,51 см², J = 8,7 см⁴, J = 48,6 см⁴, b = 36 мм, z₀= 1,24 см.

Вычислим геометрические характеристики составного сечения.

Площадь сечения

A = 2 A₁ = 2 · 7,51 = 15,02 см².

Расстояние между параллельными осями x и x₁

a = 1,2 / 2 + 3,6 – 1,24 = 2,96 см.

Осевые моменты инерции

J_x = 2(J + a² A₁) = 2(8,7 + 2,96² · 7,51) = 149 см⁴, J_y = 2 J = 2·48,6 = 97,2 см⁴.

Радиусы инерции

i_x = см, i_y = см.

Коэффициенты приведения длины определяются в зависимости от условий закрепления концов стержня

= 2, = 0,7.

В этих обозначениях индексы соответствуют названиям осей, вокруг которых поворачиваются поперечные сечения стержня при потере устойчивости и искривлении продольной оси.

Из-за неодинаковых условий закреплений концов гибкость стержня в двух плоскостях разная

Для расчётов на устойчивость имеет значение лишь большая из них

= = = 158,7.

Фрагмент таблицы для коэффициента снижения основного допускаемого напряжения j для стали Ст4 имеет вид

Ст4
· · ·	· · ·
	0,32
	0,29
· · ·	· · ·

Отсюда по линейной интерполяции для гибкости 158,7 получим

Вычислим основное допускаемое напряжение на простое сжатие

Тогда допускаемая нагрузка имеет значение

Теперь найдём коэффициент запаса по устойчивости

n_у = .

Формула критического напряжения зависит от свойств материала и гибкости стержня. Поэтому предварительно вычислим параметры гибкости для заданного материала

.

Расчётное значение гибкости = 158,7 больше . Поэтому критическое напряжение вычисляется по формуле Эйлера

Фактическое напряжение в поперечном сечении стержня

Коэффициент запаса по устойчивости

n_у =

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Рис. 1	Рис. 2
Рис. 3

Таблица 1

a, b– параметры формулы Ясинского

Второе число шифра	Форма поперечного сечения	Марка стали	sт МПа	sпц МПа	nт	a МПа	b МПа
	I	Ст2			2,0		0,70
	II	Ст3			1,5		1,14
	III	Ст4			1,6		1,11
	IV	Ст3			2,5		1,14
	I	Ст4			1,8		1,11

Таблица 2

Первое число шифра	Схема закрепления в плоскости	l м	Первое число шифра	Схема закрепления в плоскости	l м
zx	zy	zx	zy
			1,7				1,8
			1,8				1,9
			2,4				3,2
			2,9				2,7
			3,2				3,1
			1,6				1,5
			1,5				1,6
			3,0				2,5
			3,1				1,7
			1,5				1,4
			2,4				1,8
			3,3				1,7
			3,0				2,8
			3,4				3,0
			3,5				3,5

Таблица 3

Коэффициенты снижения основного допускаемого напряжения

	Ст. 2, Ст. 3, Ст. 4		Ст. 2, Ст. 3, Ст. 4
	1,00		0,52
	0,99		0,45
	0,96		0,40
	0,94		0,36
	0,92		0,32
	0,89		0,29
	0,86		0,26
	0,81		0,23
	0,75		0,21
	0,69		0,19
	0,60

Литература

1. Александров А.В. Потапов В.Д. Державин Б.П. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 2000. – 560 с.

2. Андреев В.И., Паушкин А.Г., Леонтьев А.Н. Техническая механика (для учащихся строительных вузов и факультетов): учебник. – М.: Изд-во АСВ, 2012. – 251 с.

3. Атаров Н.М.Сопротивление материалов в примерах и задачах:учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2013. – 407 с.

4. Варданян Г.С. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. – М.: Изд-во Ассоц. строит. вузов, 1995. – 572 с.

5. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А.Сопротивление материалов (с основами строительной механики) / под. ред. Г.С. Варданяна. – М.: ИНФРА-М, 2011. – 480 с.

6. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. – М., 1989. – 624 c.

7. Ицкович Г.М., Минин Л.С., Винокуров А.И., Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. – М.: Высшая школа, 1999. – 592 с.

8. Михайлов А.М. Сопротивление материалов: учебник для студентов высших учебных заведений. – М.: Академия, 2009. – 448 с.

9. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности. – М., 2000. – 286 с.

10. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Изд-во МГТУ, 1999. – 591 с.

11. Сайт кафедры теоретической и прикладной механики. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://kafedratpm.ucoz.ru.