Косой изгиб балки

Задана балка, изготовленная из двух стальных швеллеров с расчётным сопротивлением материала R.

Построить эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях; установить положение наиболее опасного сечения, найти нейтральную линию и построить эпюру напряжений, проверить прочность по предельным состояниям.

Исходные данные

Шифр	l м	F1 кН	F2 кН	М кНм	R МПа
31–6	1,0					0,95

Расчётная схемаРешение

На исходном чертеже (рис. 1) показываем оси x, y, z. Нагрузки, действующие на балку, расположены в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Поэтому в поперечных сечениях балки будут действовать изгибающие моменты M_x и M_y. Из этого следует, что в данном случае имеется косой изгиб. Необходимо построить раздельно эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

Начнём с вертикальной плоскости. Вид балки изображён на схеме а) рис. 2. Сечения при изгибе поворачиваются вокруг оси х, поэтому здесь действуют изгибающие моменты М_x. Показываем оси y, z, точки В, С, намечаем участки 1 и 2.

Изгибающий момент в сечениях первого участка

M_x = M = 18 кНм.

То же в сечении С второго участка

M_xC = M – F₂ · l = 18 – 30 ·1 = –12 кНм.

В результате получается эпюра M_x, показанная на рисунке.

Перейдём к расчётам для горизонтальной плоскости. Расчётная схема имеет вид б). Указываем оси x, z, точки В, С, намечаем участки 1 и 2. В данном случае изгибающие моменты обозначаются М_y, поскольку они поворачивают сечения вокруг оси у-ов.

В сечениях 1 участка изгибающий момент равен нулю. В сечениях В, С второго участка получим

М_уВ = –F₁ l = –10 · 1 = –10 кHм, М_уС = –F₁2 l = –10 · 2 · 1 = –20 кHм.

Показываем соответствующую эпюру на рисунке.

Установить сразу опасное сечение по двум эпюрам балки не удаётся, потому что наибольшие изгибающие моменты М_{x max} и М_{у max} действуют в разных сечениях с разными осевыми моментами сопротивления. Для выявления наиболее опасного сечения придётся рассмотреть сечения В и С.

Предварительно найдём геометрические характеристики сечений. С этой целью изобразим сечение, укажем центры тяжести швеллеров C₁, С₂ и всего сечения – С. Проведём оси x₁, y₁, x₂, у₂ – центральные для отдельных швеллеров, а также оси х, у – центральные для всего сечения. Выпишем данные одного швеллера из таблицы ГОСТ8240-89 с учётом его горизонтального положения в данной балке.

А₁ = 18,1 см², h = 16 см, b = 6,4 см, z_o = 1,8 см,

J = 63,3 см⁴, J = 747 см⁴.

Расстояние между параллельными осями х₁ и x равно

b₁ = + z_o = 3,5 + 1,8 = 5,3 см.

Вычислим осевые моменты инерции сечения балки

J_x = 2(J + b A₁) = 2 · (63,3 + 5,3² · 18,1) = 1143 см⁴,

J_y = 2J = 2 · 747 = 1494 см⁴.

Им соответствуют осевые моменты сопротивления

W_x= см³, W_y= 186,8 см³.

Ввиду того, что сечение балки симметричное с угловыми точками, максимальное нормальное напряжение в нём можно найти по формуле

у_max =

В сечении В

s_max = = 209,4 · 10 ⁶ = 209,4 МПа.

В сечении С

s_max = = 211,1 · 10 ⁶ = 211,1 МПа.

Из сравнения результатов видно, что опасным является сечение С. Построим для него нейтральную линию и эпюру напряжений.

След силовой плоскости является прямой линией с угловым коэффициентом

k₁ = tg a = = 0,6.

Отсюда = 31°.

На рис. 4 покажем изгибающие моменты M_x и M_y, причём направим их в соответствии с эпюрами, изображёнными на рис. 2. Учтём при этом, что ординаты эпюр, как полагается, отложены со стороны растянутых волокон балки. Конкретно это означает, что изгибающий момент M_x должен быть направлен таким образом, чтобы верхние волокна балки были растянутыми. Аналогично, изгибающий момент M_y должен быть направлен так, чтобы правые волокна балки были растянутыми. Сказанное влечёт направления M_x и M_y, показанные на рис. 4, а затем и направление суммарного изгибающего момента М, лежащего в силовой плоскости под углом , как показано на рисунке. Угол при этом откладывается против часовой стрелки, так как угловой коэффициент получен в виде положительного числа.

Нейтральная линия является прямой с угловым коэффициентом

k₂ = tg = = –1,275.

Её угол наклона к горизонтальной оси

.

Получен знак минус. Следовательно, угол должен быть отложен на рисунке по часовой стрелке. Как легко можно заметить, силовая плоскость и нейтральная линия не перпендикулярны между собой.

По положениям моментов и нейтральной линии, очевидно, что наибольшее растягивающее напряжение должно быть в точке D, наиболее удалённой от нейтральной линии и находящейся в растянутой зоне сечения. Его численное значение найдено выше.

Для построения эпюры нормальных напряжений требуется определить и наибольшее сжимающее напряжение в сечении. Оно будет в точке E, также наиболее удалённой от нейтральной линии, но уже расположенной с противоположной стороны в сжатой зоне. Вследствие симметричности сечения такое напряжение можно легко установить, т. е. будет

s_min = –s_max = –211,1 МПа.

Проверку прочности выполним по условию

s_max ≤ R,

что даёт

211,1 ≤ 0,95·240, 211,1 МПа ≤ 228 МПа.

Прочность балки обеспечена.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	l м	F1 кН	F2 кН	М1 кНм	М2 кНм	R МПа
	1,1						0,80
	1,0						0,95
	1,3						0,90
	1,2						0,85
	1,1						0,90

Задача № 13