Задачи для самостоятельного решения. Задача 7.1.Была произведена случайная, репрезентативная выборка (n = 850 чел.) для изучения рабо­ты продовольственных магазинов района города

Задача 7.1. Была произведена случайная, репрезентативная выборка (n = 850 чел.) для изучения рабо­ты продовольственных магазинов района города. 604 человека из опрошенных признали работу неудовлетворительной. Определите пределы, в которых находится доля лиц во всем городе, удовлетворенных работой магазинов. Используйте вероятность 0,85. Задачу решите при N = 108 тыс. чел.

Задача 7.2. Из генеральной совокупности (N = 2035) была извлечена методом повторного отбора слу­чайная выборка в 121 ед. Определите численность выборки при бесповторном отборе, а также величину экономии, если стоимость обследования 1 ед. равняется 25 руб.

Задача 7.3. Предельная ошибка затрат времени на просмотр ТВ-передач — 16 мин. (была использована вероятность 0,96). Такая ошибка признана чрезмерной и было решено ее уменьшить, сни­зив вероятность до 0,90. Определите величину D, а также границы, в которых находится истинное время просмотра ТВ-передач (по данным выборки = 210 мин.).

Задача 7.4. С вероятностью 0,88 и 0,97 определите численность повторной случайности выборки, ес­ли известно, что коэффициент вариации равен 21%, а требуемая точность 4%.

Задача 7.5. Определите величину предельной ошибки повторной выборки при случайном, серийном, типическом отборе для выборки в 100 ед. и использованной вероятности 0,954. Межгруппо­вая дисперсия равна 2,05, а средняя из внутригрупповых 1,15. Размер 1 серии равен 20 ед.

Задача 7.6. В результате 10%-ного выборочного наблюдения (n = 250) было установлено, что средний расход на периодику в месячном исчислении составляет 3,8% совокупного дохода семьи при s = 1,2%. С какой вероятностью можно утверждать, что при определении размеров затрат допущена ошибка не более 0,2%?

Задача 7.7. Генеральная[xlix] совокупность N = 12385, а бесповторная выборка 210. Определите объем пов­торной выборки.

Задача 7.8. Предельная ошибка равна 12,3, а средняя ошибка равна 11,6. Определите доверительную вероятность, которая была использована.

Задача 7.9. Определите объем случайной повторной выборки с использованием вероятности 0,93 и допустимой ошибкой 0,04. Сведений о размере дисперсии нет (используйте формулу для долей).

Задача 7.10. Для изучения частоты посещаемости концертов и театральных представлений была произ­ведена случайная повторная выборка и опрошено 9 человек. Они указали частоту посеще­ний (в месячном исчислении): 4; 5; 3; 1; 1; 4; 2; 5; 2. Определите предельную ошибку выборки с вероятностью 0,99 и укажите границы, в которых находится «истинная» сред­няя. Сделайте выводы по существу. Решите задачу и при вероятности 0,95.

Задача 7.11. При выращивании нового сорта гречихи за n = 13 лет получены средняя урожайность = 4,88 ц/га и средняя ошибка выборки 0,51 ц/га. Определите границы, в которых нахо­дится «истинная» средняя урожайность данного сорта, использовав доверительную веро­ятность 0,95 и 0,99.

Задача 7.12. Средний вклад у 180 вкладчиков, отобранных из генеральной совокупности 4300, составил 810 руб., s = 58 руб. Определите границы, в которых находится «истинное» значение размера вклада, а также «истинные» размеры суммы всех вкладов. Используйте вероят­ность 0,85. Определите коэффициент вариации среднего вклада и всей суммы вкладов, сравнив их. Рекомендуется рассчитать ошибку при повторном отборе.

Задача 7.13. В одном учебном заведении имеется 84 студенческие группы примерно одинаковой чис­ленности. Случайным образом было отобрано 5 групп для изучения среднего времени, не­обходимого студентам на подготовку к практическим занятиям. По отдельным группам были получены следующие результаты (в минутах): = 65; = 55; = 82; = 75; = 90. Определите предельную ошибку выборки (с вероятностью 0,90) и границы, в которых находится «истинное» значение генеральной средней. Рассчитайте предельную ошиб­ку также с вероятностью 0,95.

Задача 7.14. Для[l] изучения частоты посещаемости концертов и театральных представлений была произведена случайная повторная выборка из 15 человек. Респонденты указали следующую частоту посещений в месяц: 4; 1; 1; 1; 1; 2; 3; 2; 3; 2; 2; 1; 1; 0; 3. Определите предельную ошибку выборки с вероятностью 0,95 и границы, в которых находится «истинная» средняя.

Задача 7.15. Производилось планирование объема выборки при многофункциональном опросе (исследуется множество различных признаков), в частности по полу, расходам на жизнь и по величине свободного времени. Вид отбора был определен как повторный, а предельная ошибка принята на уровне 0,05. После необходимых подсчетов были получены n ₁ = 336; n ₂ = 64; n ₃ = 156. Значительное расхождение в объемах выборок и нехватка средств заставили исследователей пойти на снижение точности для I признака (пол) до 0,08, а III признака (свободное время) до 0,06. Определите новые значения n ₁ и n ₃. Использованная вероятность равна 0,954.

Задача 7.16. По данным случайной выборки из сотрудников одного вуза (n = 85) было получено = 54 мин (время на дорогу до места работы). По этим же данным была найдена дисперсия s² = 376. Определите вероятность того, что среднее время на дорогу для всей генеральной совокупности будет находиться в пределах от 51 до 57 мин.

Задача 7.17. 250 одиноких пенсионеров, случайно отобранных, были опрошены на предмет изучения их расходов. Оказалось, в частности, что на питание они тратят в среднем 1300 руб. в месяц при s = 170 руб. С какой вероятностью можно утверждать, что расходы пенсионеров во всей генеральной совокупности (в городе) находятся в пределах от 1285 до 1315 руб.?

Задача 7.18. 250 одиноких[li] пенсионеров, случайно отобранных, были опрошены на предмет изучения их расходов. Оказалось, в частности, что на питание они тратят в среднем 3000 руб. в месяц при s =220 руб. С какой вероятностью можно утверждать, что расходы пенсионеров во всей генеральной совокупности (в городе) находятся в пределах от 2980 до 3030 руб.?

Задача 7.19. В результате 2%-ного выборочного обследования размеров вкладов пенсионеров в одном филиале СБ РФ были получены следующие результаты (табл. 7.3).

Таблица 7.3

Данные для задачи 7.19

Размер вклада (руб.)	до 1000	1000—3000	3000—7000	7000—15 000
Численность лиц

Определите с вероятностью 0,95: a) границы среднего вклада; б) удельный вес вкладов до 3000 руб. включительно; в) среднюю ошибку выборочной доли; г) общий размер средств пенсионеров данного города, находящихся в сберегательном банке.

Задача 7.20. В рамках большого социологического исследования изучалось время (в минутах), затрачиваемое разными категориями пенсионеров на просмотр ТВ-передач (в среднем в течение дня). По данным случайной выборки n = 425 были получены следующие результаты (табл. 7.4).

Таблица 7.4

Данные для задачи 7.20

Категории	Групповые средние, мин.	Групповые среднеквадратические отклонения	Численность лиц в подгруппе
Пенсионеры муж.
Пенсионеры жен.
Работающие пенс.

Определите предельную ошибку выборки с вероятностью 0,9 и доверительный интервал, в котором находится среднее время просмотра передач всеми пенсионерами города, межгрупповую и общую дисперсии, а также групповые и общий коэффициенты вариации.

Задача 7.21. При контроле качества продукции обычно бракуется 10% изделий. Было отобрано 625 штук. Какова вероятность того, что среди отобранных: а) не менее 550 и не более 575 стандартных изделий; б) не менее 540 и не более 580 стандартных?

Задача 7.22. По данным случайной выборки (n = 250) продукция предприятия I-го сорта составляет 72%, II-го сорта — 19%, III-го сорта — 6% и брак — 3%. Определите долю III-го сорта, а также брака в генеральной совокупности с вероятностями 0,87 и 0,97.

Задача 7.23. По данным случайной выборки n = 65 получено As = 0,27 и Ex = 0,38. Можно ли считать, что данное распределение существенно отклоняется от нормального по величине асимметрии и эксцесса&

Задача 7.24. Фирма разослала 700 новых рекламных каталогов и получила 130 заказов. Постройте доверительный интервал для эффективности рекламы (вероятности отклика) с надежностью 0,95.

Задача 7.25. Из группы, состоящей из 5 мужчин и 6 женщин, извлечена случайная выборка численностью 6 человек. Какова вероятность того, что в выборке: а) ровно 4 женщины; б) хотя бы одна женщина?

Задача 7.26. Определите численность бесповторной случайной выборки для определения доли с доверительной вероятностью 0,9 и допустимой предельной ошибкой, равной 4,5% (N = 2400).

Задача 7.27. По данным[lii] случайной выборки из сотрудников одного вуза (n = 180) было получено = 63 минут (время на дорогу до места работы). По этим же данным была найдена дисперсия s² = 484. Определите вероятность того, что среднее время на дорогу для всей генеральной совокупности будет находиться: а) в пределах от 59 до 67 минут; б) от 62 до 70 минут.

Задача 7.28. Необходимо определить объем случайной бесповторной выборки для определения доли (N = 2500) с доверительной вероятностью 0,96% и допустимой погрешностью 6%. Данные о дисперсии отсутствуют.

Задача 7.29. Совокупность разбита на 200 равновеликих серий (гнезд). Имеются сведения, что межсерийная дисперсия равна 22. Сколько серий необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,95 утверждать, что ошибка выборочной средней не превысит 2?

Задача 7.30. Было высказано предположение, что частота посещений театров и концертов студентами Санкт-Петербурга хорошо аппроксимируется распределением Пуассона (табл. 7.5).

Таблица 7.5

Данные для задачи 7.30

Посещения в месяц
Количество студентов

Проверьте это утверждение, использовав в качестве критерия согласия c² и (или) критерий Колмогорова (a = 0,01 и 0,05).

Задача 7.31. Проверьте нулевую гипотезу о равенстве двух выборочных исправленных дисперсий: n ₁ = 10; n ₂ = 12; s ₁ = 1,09; s ₂= 1,48, используя вероятности 0,05 и 0,01.

Задача 7.32. В двух бригадах численностью в n ₁ = 35 и n ₂ = 28 человек средняя выработка составляет = 10 и = 11,5 при известных дисперсиях 5,2 и 6,80 соответственно. Можно ли считать такое расхождение случайным, или же оно является следствием положительных перемен, происшедших во второй бригаде? Уровень значимости 5%.

Задача 7.33. Производитель нового лекарства «А» утверждает, что его препарат более эффективен и через неделю 85% заболевших полностью выздоравливают. Многолетние данные медицинской статистики свидетельствуют, что полностью выздоравливают только 75%. Проведены клинические испытания в 4 больницах (n ₁ = 72; n ₂ = 106; n ₃ = 40 и n ₄ = 32, где n — численность выборки). Проверьте нулевую гипотезу при a = 3% (односторонняя проверка).

Задача 7.34. При проверке гипотезы о равенстве двух средних величин нулевую гипотезу отклонить не удалось. Было решено узнать, не различаются ли существенно коэффициенты вариации. По двум выборкам n ₁ = 29 и n ₂ = 36 были получены K _s1 = 31,7% и K _s2 = 42,6%. Уровень значимости 6%. Сделайте выводы. Проведите одностороннюю и двустороннюю проверки.

Задача 7.35. В двух случайно выбранных студенческих группах n ₁ = 27 и n ₂ = 36 после последней сессии было 9 и 17 отличников. Можно ли считать, что такое расхождение неслучайно (статистически значимо) и что вторая группа существенно отличается от первой группы? Проверьте нулевую гипотезу при уровне значимости 6%. Сделайте выводы.

Задача 7.36. В табл. 7.6 представлены объемы продаж в семи магазинах фирмы (млн руб.) до и после проведения рекламной акции.

Таблица 7.6

Данные для задачи 7.36

№ магазина
до рекламы
после рекламы

Проверьте гипотезу об эффективности рекламной акции. Используйте вероятности 0,9 и 0,95. Сделайте выводы по существу.

Задача 7.37. Аналитик по инвестициям большой компании утверждает, что 70% акций, которые он советовал приобрести, выросли в цене. Предположим, что случайная выборка 125 акций обнаружила, что 75 из них выросли в цене. Проверьте справедливость утверждения аналитика на уровне значимости a= 0,03.

Задача 7.38. Завод рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация, получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,08. Завод разослал 1000 каталогов новой улучшенной формы и получил 100 заказов. Можно ли считать, что новая форма рекламы оказалась значительно эффективнее первой?

Задача 7.39. Покупатель приобретает большую партию интегральных схем для компьютеров в том случае, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превысит 0,002. Среди отобранных 1000 схем оказались 3 бракованных. Можно ли принять партию (a= 0,05)?

Задача 7.40. При[liii] проверке гипотезы о равенстве двух средних величин нулевую гипотезу отклонить не удалось. Было решено узнать, не различаются ли существенно коэффициенты вариации. По двум выборкам n ₁ = 29 и n ₂ = 36 были получены K _s1 = 31,7% и K _s2 = 47%. Уровень значимости равен 5%. Сделайте выводы.

Задача 7.41. Автомат, работающий со стандартным отклонением s = 1 г, фасует чай в пачки со средним весом 100 г. В случайной выборке объема n = 25 пачек средний вес 101,5 г. Надо ли отрегулировать автомат? Доверительная вероятность р = 0,95.

Задача 7.42. По двум случайным выборкам n ₁ = 6 и n ₂ = 9 были получены выборочные средние. Производилась оценка различия между средними и было получено T _ф = 1,89. При доверительной вероятности 0,95 проведите одностороннюю и двустороннюю проверки.

Глава 8. Статистическое изучение взаимосвязей: основы корреляционно-регрессионного анализа

В результате освоения данной главы студент должен:

Знать

· основные понятия корреляционно-регрессионного анализа;

· принципы построения корреляционно-регрессионных моделей;

Уметь

· рассчитывать значения основных показателей тесноты связи между признаками;

· строить уравнения регрессии;