Типы выборок. Малая выборка

Помимо собственно случайной выборки с ее четким вероятностным обоснованием существуют и другие выборки, которые не являются абсолютно случайными, однако широко применяются. Следует заметить, что строгое применение собственно случайного отбора единиц из генеральной совокупности далеко не всегда возможно на практике. К таким выборкам относятся механическая выборка, типическая, серийная (или гнездовая), многофазовая и ряд других.

Редко бывает, чтобы генеральная совокупность была однородной, это скорее исключение, нежели правило. Поэтому при наличии в составе генеральной совокупности различных типов явления часто желательно обеспечить более равномерное представительство в выборочной совокупности различных типов. Эта цель успешно достигается при применении типической выборки. Главная трудность заключается в том, что мы должны иметь дополнительную информацию о всей генеральной совокупности, что в ряде случаев является затруднительным.

Типическую выборку называют еще расслоенной или стратифицированной выборкой; ее применяют также в целях более равномерного представления в выборке различных районов, и в этом случае выборку называют районированной.

Итак, под типической выборкой понимается такая выборка, при которой генеральная совокупность разделена на типические подгруппы, сформированные по одному или нескольким существенным признакам (например, население разделено на 3—4 подгруппы по величине среднедушевого дохода или по уровню образования — начальное, среднее, высшее и т.п.). Далее из всех типических групп можно вести отбор единиц в выборку несколькими способами, формируя:

а) типическую выборку с равномерным размещением, где из разных типов (слоев) отбирается равное число единиц. Эта схема работает хорошо, если в генеральной совокупности слои (типы) не очень сильно отличаются друг от друга по числу единиц;

б) типическую выборку с пропорциональным размещением, когда требуется (в отличие от равномерного размещения), чтобы доля (%) отбора для всех слоев была бы одинаковой (например, 5 или 10%);

в) типическую выборку с оптимальным размещением, когда учитывается степень вариации признаков в различных группах генеральной совокупности. При таком размещении пропорция отбора для групп с большой колеблемостью признака увеличивается, что в итоге приводит к уменьшению случайной ошибки.

Формула средней ошибки при типическом отборе похожа на обычную ошибку выборки для собственно случайной выборки с той лишь разницей, что вместо общей дисперсии проставляется средняя из частных внутригрупповых дисперсий, что, естественно, приводит к уменьшению погрешности по сравнению с собственно случайной выборкой. Однако ее применение не всегда возможно (по многим причинам). Если нет необходимости в большой точности, легче и дешевле использовать серийную выборку.

Серийная (гнездовая) выборка состоит в том, что в выборку отбираются не единицы совокупности (например, студенты), а отдельные серии или гнезда (например, учебные группы). Говоря иначе, при серийном (гнездовом) отборе единица наблюдения и единица отбора не совпадают: отбираются некоторые группы примыкающих друг к другу единиц (гнезда), а обследованию подлежат входящие в состав этих гнезд единицы. Так, например, при выборочном обсле­довании жилищных условий мы можем в случайном порядке вы­брать некоторое число домовладений (единица отбора) и выяснить далее жилищные условия проживающих в этих домах семей (единицы наблюдения).

Серии (гнезда) состоят из единиц, связанных между собой территориально (районы, города и т.д.), организационно (предприятия, цеха и т.д.), или во времени (например, совокупность единиц выработанной за данный отрезок времени продукции).

Серийный отбор может быть организован в форме одноступенчатого, двухступенчатого или многоступенчатого отбора.

Случайно отобранные серии подвергаются сплошному исследованию. Таким образом, серийная выборка состоит из двух этапов случайного отбора серий и сплошного изучения этих серий. Серийный отбор дает значительную экономию в силах и средствах и поэтому часто используется на практике. Ошибка серийного отбора отличается от ошибки собственно случайного отбора тем, что вместо значения общей дисперсии используется межсерийная (межгрупповая) дисперсия, а вместо объема выборки — количество серий. Точность обычно не очень велика, но в ряде случаев это допустимо. Серийная выборка может быть повторной и бесповторной, а серии — равновеликими и неравновеликими.

Серийная выборка может быть организована по разным схемам. Например, можно сформировать выборочную совокупность в два этапа: сначала в случайном порядке выбираются подлежащие обследованию серии, затем из каждой отобранной серии также в случайном порядке отбирается определенное количество единиц, подлежащих непосредственному наблюдению (измерению, взвешиванию и пр.). Ошибка такой выборки будет зависеть от ошибки серийного отбора и от ошибки индивидуального отбора, т.е. многоступенчатый отбор дает, как правило, менее точные результаты по сравнению с одноступенчатым, что объясняется возникновением ошибок репрезентативности на каждой ступени выборки. В этом случае требуется использовать формулу ошибки выборки для комбинированного отбора.

Другой формой отбора является многофазовый отбор (1, 2, 3 фазы или этапа). Этот отбор по своей структуре отличается от многоступенчатого, так как при многофазном[xxxv] отборе пользуются на каждой фазе одними и теми же единицами отбора. Ошибки при многофазном отборе рассчитывают на каждой фазе отдельно. Главная особенность двухфазовой выборки состоит в том, что выборки отличаются друг от друга по трем критериям в зависимости: 1) от доли единиц, изученных на первой фазе выборки и вновь включенных во вторую и последующие фазы; 2) от соблюдения равенства шансов каждой единицы выборки первой фазы вновь быть объектом изучения; 3) от величины интервала, отделяющего фазы друг от друга.

Остановимся еще на одном виде отбора, а именно механическом (или систематическом). Этот отбор являет­ся, вероятно, самым распространенным. Это объясняется, видимо, тем, что из всех приемов выбора данный прием является простейшим. В частности, он зна­чительно проще, чем случайный отбор, предполагающий умение пользоваться таблицами случайных чисел, и не требует дополнительных сведений о генеральной совокупности и ее структуре. К то­му же механический отбор тесно переплетается с про­порциональным стратифицированным отбором, что при­водит к снижению ошибки выборки.

Например, применение механического отбора чле­нов жилищного кооператива из списка, составленного в по­рядке поступления в данный кооператив, обеспечит пропорциональное представительство членов кооператива с разным стажем. Использование этого же приема для отбора респондентов из списка лиц, составленного по алфа­виту, обеспечивает равные шансы для фамилий, начи­нающихся на разные буквы, и т.п. Использование та­бельных или иных списков на предприятиях или в учебных заведениях и др. может обеспечить не­обходимую пропорциональность в представительстве ра­ботников с разным стажем. Заметим, что механический отбор широко применяется в социологии, при изучении общественного мнения и др.

В целях снижения величины ошибки и особенно расходов на проведение выборочного исследования широко используются разные комбинации отдельных видов отбора (механического, серийного, индивидуального, многофазного и т.п.) В таких случаях следует рассчитывать более сложные ошибки выборок, которые состоят из ошибок, имеющих место на разных этапах исследования.

Малая выборка — это совокупность единиц меньше 30. Малые выборки встречаются на практике довольно часто. Например, число заболеваний редкими болезнями или число единиц, обладающих редким признаком; кроме того, к малой выборке прибегают, когда исследование стоит дорого или исследование связано с уничтожением продукции или образцов. Широкое применение малые выборки получили в сфере обследования качества продукции. Теоретические основы для определения ошибок малой выборки были заложены английским ученым У. Госсетом (псевдоним Стьюдент).

Необходимо помнить, что при определении ошибки для малой выборки следует вместо численности выборки брать величину (n – 1) или же до определения средней ошибки выборки рассчитывать так называемую исправленную дисперсию выборки (в знаменателе вместо n следует ставить (n – 1)). Отметим, что такая поправка делается только один раз — при расчете выборочной дисперсии или при определении ошибки. Величина (n – 1) носит название степени свободы. Кроме того, нормальное распределение заменяется t -распределением (распределением Стьюдента), которое табулировано и зависит от количества степеней свободы. Единственным параметром распределения Стьюдента является величина (n – 1). Еще раз подчеркнем, что поправка (n – 1) важна и существенна лишь при малых по численности выборочных совокупностях; при n > 30 и выше различие сходит на нет, приближаясь к нулю.

До сих пор шла речь о случайных выборках, т.е. таких, когда выбор единиц из генеральной совокупности производится случайно (или почти случайно) и все единицы имеют равную (или почти равную) вероятность попасть в выборку. Однако отбор единиц может быть основан на принципе неслучайного отбора, когда во главу угла ставится принцип доступности и целенаправленности. В таких случаях нельзя говорить о репрезентативности полученной выборки, а исчисление ошибок репрезентативности можно производить, лишь имея сведения о генеральной совокупности.

Известны несколько схем формирования неслучайной выборки, которые получили значительное распространение и используются главным образом в социологических исследованиях: отбор доступных единиц наблюдения, отбор по нюрнбергскому методу, целевая выборка при определении экспертов и др. Важное значение имеет также квотная выборка, которая формируется исследователем по небольшому количеству существенных параметров и дает очень близкое совпадение с генеральной совокупностью. Говоря иначе, квот­ный отбор должен обеспечить исследователю почти полное совпадение выборочной и генеральной совокупностей по избранным им параметрам. Целенаправленное дости­жение близости двух совокупностей по ограниченному кругу показателей достигается, как правило, с помощью выборки существенно меньшего объема, чем при исполь­зовании случайного отбора. Именно это обстоятельство делает квотный отбор привлекательным для исследова­теля, не имеющего возможности ориентироваться на самовзвешивающуюся случайную выборку большого объ­ема. Следует добавить, что сокращение объема выборки чаще всего сочетается с уменьшением денежных затрат и сроков проведения исследования, что увеличивает преимущества указанного способа отбора. Отметим также, что при квотной выборке имеется довольно значительная предварительная информация о структуре генеральной совокупности. Главное преимущество здесь состоит в том, что объем выборки существенно меньше, чем при случайной выборке. Выделенные признаки (чаще всего социально-демографические — пол, возраст, образование) должны тесно коррелировать с изучаемыми характеристиками генеральной совокупности, т.е. объекта исследования.

Как уже указывалось, выборочный метод дает возможность получить сведения о генеральной совокупности с гораздо меньшими затратами средств, времени и усилий, чем при сплошном наблюдении. Понятно также, что сплошное изучение всей генеральной совокупности в ряде случаев невозможно, например при проверке качества продукции, образцы которой уничтожаются.

Вместе с этим, однако, следует указать, что генеральная совокупность не является полностью «черным ящиком» и кое-какими сведениями о ней мы все же располагаем. Проводя, например, выборочное исследование, касающееся жизни, быта, имущественного положения, доходов и расходов студентов, их мнений, интересов и т.п., мы все же располагаем сведениями об общей их численности, группировке по полу, возрасту, семейному положению, местожительству, курсе обучения и другими характеристиками. Эти сведения всегда используются в выборочном исследовании.

Существует несколько разновидностей распространения выборочных характеристик на генеральную совокупность: способ прямого пересчета и способ поправочных коэффициентов. Пересчет выборочных характеристик производится, как правило, с учетом доверительных интервалов и может быть выражен в абсолютных и относительных величинах.

Здесь вполне уместно подчеркнуть, что бóльшая часть статистической информации, касающейся экономической жизни общества в самых разных ее проявлениях и видах, основана на выборочных данных. Конечно, они дополняются и данными сплошного учета, и сведениями, полученными в результате переписей (населения, предприятий и пр.). Так, например, все сведения бюджетной статистики (о доходах и расходах населения), приводимые Росстатом, основаны на данных выборочного исследования. Сведения о ценах, размерах производства, объемах торговли, выраженные в соответствующих индексах, также в значительной мере основаны на выборочных данных.

Статистические гипотезы и статистические критерии. Основные понятия

Понятия статистического критерия и статистической гипотезы тесно связаны с выборкой. Статистическая гипотеза (в отличие от других научных гипотез) состоит в предположении о некоторых свойствах генеральной совокупности, которые можно проверить, опираясь на данные случайной выборки. При этом следует помнить, что полученный результат имеет вероятностный характер. Следовательно, итог исследования, подтверждающий справедливость выдвинутой гипотезы, почти никогда не может служить основанием для ее окончательного принятия, и наоборот, результат, несовместный с ней, вполне достаточен для отклонения выдвинутой гипотезы как ошибочной или ложной. Это так, потому что полученный результат может быть совместным и с другими гипотезами, а не только с выдвинутой.

Под статистическим критерием понимается свод правил, которые позволяют ответить на вопрос, при каких результатах наблюдения гипотеза отклоняется, а при каких нет. Другими словами, статистический критерий — это некое решающее правило, обеспечивающее принятие истинной (верной) гипотезы и отклонение ложной гипотезы с большой степенью вероятности. Статистические критерии бывают односторонними и двусторонними, параметрическими и непараметрическими, более или менее мощными. Некоторые критерии применяются часто, другие используются реже. Часть критериев предназначена для решения специальных вопросов, а некоторые критерии могут использоваться при решении широкого класса задач. Эти критерии получили повсеместное распространение в социологии, экономике, психологии, естественных науках и т.д.

Введем некоторые основные понятия статистической проверки гипотез. Проверка гипотезы начинается с выдвижения нулевой гипотезы Н ₀, т.е. некоторого предположения исследователя, а также конкурирующей, альтернативной гипотезы Н ₁, которая противоречит основной. Например: Н ₀: , Н ₁: или Н ₀: , Н ₁: (где а — генеральная средняя).

Основная цель исследователя при проверке гипотезы заключается в том, чтобы отвергнуть выдвигаемую им гипотезу. Как писал Р. Фишер, цель проверки любой гипотезы — ее отклонить.[xxxvi] Проверка гипотезы строится от противного. Следовательно, если мы считаем, что, например, средняя заработная плата рабочих, полученная по данным конкретной выборки и равная 186 денежным единицам в месяц, не совпадает с действительным размером заработной платы по всей генеральной совокупности, то в качестве нулевой гипотезы принимается, что эти зарплаты равны.

Конкурирующая гипотеза Н ₁ может быть сформулирована по-разному:

Н ₁: , Н ₁: , Н ₁: .[xxxvii]

Далее определяется ошибка I рода (a), которая устанавливает вероятность того, что верная гипотеза будет отклонена. Очевидно, что такая вероятность должна быть небольшой (обычно от 0,01 до 0,1, чаще всего по умолчанию 0,05, или так называемый 5%-ный уровень значимости). Эти уровни вытекают из метода выборочного наблюдения, согласно которому двукратная или трехкратная ошибка представляет собой те пределы, за которые чаще всего не выходит случайная вариация выборочных характеристик. Ошибка II рода (b) — это вероятность того, что будет принята неверная гипотеза. Как правило, более «опасна» ошибка I рода; именно она фиксируется статистиком. Если в начале исследования мы хотим фиксировать a и b одновременно (например, a = 0,05; b = 0,1), то для этого необходимо сначала рассчитать объем выборки.

Критическая зона (или область) — это совокупность значений критерия, при которых Н ₀ отклоняется. Критической точкой Т _кр называется точка, отделяющая область принятия гипотезы от области отклонения, или критической зоны.

Как уже упоминалось, ошибка I рода (a) — это вероятность отклонения верной гипотезы. Чем меньше a, тем меньше вероятность совершить ошибку I рода. Но вместе с тем при уменьшении a (например, с 0,05 до 0,01) труднее отклонить нулевую гипотезу, что, собственно говоря, и ставит перед собой исследователь. Подчеркнем еще раз, что дальнейшее снижение a до 0,05 и далее фактически приведет к тому, что все гипотезы, верные и ложные, попадут в область принятия нулевой гипотезы, и сделает невозможным провести их различие.

Ошибка II рода (b) возникает в тех случаях, когда принимается Н ₀, но на самом деле верна альтернативная ей гипотеза Н ₁. Величина g = 1 – b называется мощностью критерия. Ошибка II рода (т.е. ошибочное принятие ложной гипотезы) уменьшается с возрастанием объема выборки и увеличением уровня значимости. Из этого следует, что нельзя одновременно уменьшить a и b. Это достигается лишь при увеличении объема выборки (что не всегда возможно).

Чаще всего задачи проверки гипотезы сводятся к сравнению двух выборочных средних или долей; к сопоставлению генеральной средней (или доли) с выборочной; сравнению эмпирического и теоретического распределений (критерии согласия); сравнению двух выборочных дисперсий (c²-критерий); сравнению двух выборочных коэффициентов корреляции или коэффициентов регрессии и некоторым другим сравнениям.

Решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы заключается в сопоставлении фактического значения критерия с табличным (теоретическим). Если фактическое значение меньше табличного, то делается вывод, что расхождение носит случайный, несущественный характер и нулевую гипотезу отклонить нельзя. Обратная ситуация (фактическое значение больше табличного) ведет к отклонению нулевой гипотезы.

При проверке статистических гипотез чаще всего используются таблицы нормального распределения, распределения c² (читается: хи-квадрат), t -распределения (распределения Стьюдента) и F -распределения (распределения Фишера).