Средние величины

Наиболее распространенной формой обобщающих статистических показателей является средняя величина. Ее важность отмечается в работах известных ученых А. Кетле, В. Петти, И. С. Пасхавера, Г. Кинга, А. Боули, Р. Фишера, Дж. Юла, Ф. Миллса, А. Я. Боярского, Н. К. Дружинина и др.

Средняя величина (или просто средняя) дает обобщающую (типическую) характеристику исследуемой совокупности по определенному признаку. Признак, по которому находится средняя величина, называется осредняемым признаком и обозначается . Данный показатель позволяет сравнивать значения признаков, относящихся к разным совокупностям. В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц, обусловленные случайными факторами. Средняя всегда имеет единицу измерения такую же, как и осредняемый признак. Она рассчитывается для качественно однородной совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц. Неоднородную совокупность правильнее разделять на однородные группы и рассчитывать для них групповые средние.

Существуют следующие виды средних величин: 1) степенные: а) простые; б) взвешенные; 2) структурные: а) мода; б) медиана. Если средняя величина рассчитывается для несгруппированных данных, то используется формула простой средней. Если же она рассчитывается для сгруппированных данных, с использованием частот, то применяется формула средней взвешенной. При этом частота может быть представлена не только абсолютными величинами, но и относительными (в процентах или долях).

Традиционно выделяют такие виды степенных средних: арифметическая, геометрическая, гармоническая, квадратическая, кубическая. Выбор средней величины производится не произвольно, а в зависимости от цели исследования, характера имеющихся исходных данных. При этом средняя величина должна рассчитываться так, чтобы при замене ею каждого варианта не изменялся итоговый показатель. Формулы расчета степенных средних приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Формулы расчета
Простая средняя	Взвешенная средняя
Гармоническая
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

Средняя арифметическая применяется в случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков ее отдельных единиц. Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1) средняя арифметическая постоянной величины А равна этой же постоянной величине:

;

2) сумма отклонений индивидуальных значений вариантов от средней равна нулю:

(если частоты одинаковы), (если частоты различны);

3) произведение средней величины на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты:

;

4) сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины А:

;

5) величина средней арифметической не изменится, если вес каждой варианты умножить (или разделить) на одно и то же число:

, ;

6) если каждую варианту умножить (разделить) на число, не равное нулю, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:

, ;

7) если все варианты признака увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на это же число:

, .

Применение свойств средней арифметической позволяет упростить ее расчет. Для упрощения расчетов большие значения признака x_i можно уменьшить. После вычисления из уменьшенных вариантов средней арифметической ее следует увеличить во столько или на столько, во сколько или на сколько уменьшались варианты. Такой прием расчета средней величины называется способом отсчета от условного нуля[x]:

.

Средняя геометрическая используется для сохранения неизменности произведения индивидуальных значений признака, например при анализе динамики (для расчета среднего темпа роста), при заданном минимальном и максимальном значениях признака.

Средняя гармоническая применяется, если необходимо оставить постоянной сумму величин, обратных индивидуальным значениям признака, в этом случае частоты (веса) неизвестны, а известны произведения признака на соответствующую частоту (примеры: средние затраты труда, времени, материалов на одну деталь, средняя урожайность, средняя скорость и т.п.).

Средняя квадратическая рассчитывается, когда необходимо сохранить неизменной сумму квадратов индивидуальных величин; при расчете показателей вариации (примеры: средняя площадь, средний диаметр, средняя длина квадратного участка и т.п.).

Средняя кубическая применяется в случае сохранения неизменной суммы кубов индивидуальных величин (пример: средний объем).

Правило мажорантности средних, сформулированное А. Я. Боярским, состоит в том, что степенные средние величины разных видов, рассчитанные по одной совокупности, имеют разные количественные значения, и чем больше показатель степени z, тем больше величина соответствующей средней:

.

При этом различия между значениями средних величин будут тем значительнее, чем больше колеблемость осредняемых величин. При небольшой колеблемости разница между ними будет крайне мала.

Структурные средние величины используют для изучения внутреннего строения и структуры упорядоченной совокупности. Особенностью структурных средних величин является то, что они не дают обобщенную характеристику совокупности, а принимают конкретное значение одной из вариант.

Мода — значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. Для дискретного ряда мода находится согласно определению. Для интервального ряда с равными интервалами мода рассчитывается по специальной формуле. В ряду с неравными интервалами мода определяется в интервале, имеющем наибольшую плотность распределения.

Медиана — значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности. Она делит упорядоченную совокупность на две равные части, т.е. одна половина единиц совокупности имеет значение меньше медианного, другая половина — больше медианного. Ее свойство заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем ее отклонение от любой другой величины: . В дискретном вариационном ряду медиана рассчитывается по специальной формуле. Если в совокупности четное количество единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных вариантов. Для определения медианы в интервальном ряду применяется особая формула, которая подходит к использованию в рядах как с равными, так и с неравными интервалами.