Типовые примеры. Пример 3.1.Требуется произвести группировку с равными закрытыми интервалами предприятий по стоимости основных фондов

Пример 3.1. Требуется произвести группировку с равными закрытыми интервалами предприятий по стоимости основных фондов, если максимальное и минимальное значения признака соответственно равны 550 и 3000 млн. руб., а совокупность включает в себя 75 единиц.

Решение

Согласно формуле Стерджесса совокупность должна быть разбита на 7 групп:

Определим величину интервала:

млн руб.

Полученный шаг интервала прибавим к минимальному значению признака в совокупности, образуя верхнюю границу первого интервала: 550 + 350 = 900. Затем прибавим к нижней границе второго интервала: 900 + 350 = 1250. Процедура повторяется до получения верхней границы последнего интервала: 2650 + 350 = 3000.

Построение группировки с закрытыми интервалами возможно в двух вариантах в зависимости от того, какой признак, непрерывный или прерывный, берется за основу.

Если основанием группировки является непрерывный признак, то границы групп будут следующими: 550—900; 900—1250; 1250—1600; 1600—1950; 1950—2300; 2300—2650; 2650—3000.

Если основанием группировки выбран прерывный признак, то границы интервалов обозначают таким образом: 550—900; 901—1250; 1251—1600; 1601—1950; 1951—2300; 2301—2650; 2651—3000.

Пример 3.2. Требуется произвести группировку с неравными интервалами промышленных предприятий по численности занятых, которая варьирует от 300 до 3300 человек.

Решение

Величина каждого последующего интервала больше предыдущего на 200 чел., т.е. увеличивается в арифметической прогрессии: 300—500, 500—900, 900—1500, 1500—2300, 2300—3300. В случаях, когда размах вариации представляет собой крайне значительную величину, следует образовать неравные интервалы, изменяющиеся в геометрической прогрессии.

Пример 3.3. Известны следующие данные о производстве деталей технического характера на 12 предприятиях отрасли (тыс. шт.): 1,6; 1,0; 2,4; 2,5; 1,8; 1,3; 0,9; 1,4; 1,5; 0,7; 1,1; 1,7.

Требуется построить интервальный вариационный ряд распределения предприятий, выделив три группы производства деталей с равными открытыми интервалами.

Решение

Определим шаг интервала:

тыс. шт.

Построение ряда распределения с открытыми интервалами возможно в двух вариантах, при этом вопрос учета пограничных значений признака решается в зависимости от формы написания последнего интервала.

Первый вариант построения интервалов групп: до 1,3; 1,3—1,8; 1,8 и более. В данном случае пограничное значение 1,8 учитывается в последнем интервале; таким образом, число предприятий, попавшее в первый интервал, равно 4, во второй — 5, в третий — 3.

Второй вариант построения интервалов групп: до 1,3; 1,3—1,8; более 1,8. Пограничное значение 1,8 учитывается во втором интервале; соответственно количество предприятий распределяется по искомым интервалам следующим образом: 5, 5, 2.

Пример 3.4. Имеются следующие данные о распределении предприятий отрасли по численности занятых (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Данные для примера 3.4

Группы предприятий по численности занятых, чел.	Число предприятий
300—500
500—900
900—1500
1500—2300
2300—3300
Итого

Требуется провести вторичную группировку данных, образовав новые группы со следующими интервалами: до 500, 500—1000, 1000—2000, 2000 и более.

Решение

Границы первых групп, новой и старой, совпадают. Во вторую новую группу войдет полностью вторая старая группа предприятий и часть третьей. Для определения этой части от интервала 900—1500, ширина которого составляет 600 чел., нужно добавить к предыдущей группе 100 чел., т.е. взять часть интервала, равную 100:600, или 1/6. Третью новую группу образуют предприятия третьей старой группы за вычетом уже отнесенных ко второй новой группе и часть предприятий четвертой группы. От интервала 1500—2300, ширина которого равна 800 чел., к предыдущей группе добавляется 700 чел., т.е. часть интервала равная 700:800, или 7/8. Последнюю новую группу составляют предприятия четвертой старой группы за вычетом отнесенных к третьей новой группе и все предприятия пятой группы.

Таким образом, итоги долевой перегруппировки таковы (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Итоги долевой перегруппировки для примера 3.4

Группы предприятий по численности занятых, чел.	Число предприятий
до 500
500—1000	29 + 1/6×57 = 39
1000—2000	5/6×57 + 7/8×43 = 85
2000 и более	1/8×43 + 6 = 11
Итого

Пример 3.5. Имеются следующие данные о распределении предприятий отрасли по численности занятых (табл. 3.3). [ix]

Таблица 3.3

Данные для примера 3.5

Группы предприятий по численности занятых, чел.	Число предприятий fi	Ширина интервала hi, чел.	Плотность распределения	Накопленные частоты
А
300—500			0,075
500—1000			0,078
1000—2000			0,085
2000 и более			0,011
Итого		—	—	—

Решение

Группировка предприятий по численности занятых представлена с неравными интервалами. Такая группировка хорошо отражает характер распределения, однако одновременно делает веса различных интервалов взаимно несопоставимыми. Чтобы сравнить число предприятий, т.е. частоты данной группировки, рассчитывают абсолютную плотность распределения, а именно, определяют, сколько частот приходится на единицу длины каждого интервала. Для этого находят ширину интервала как разность между верхней и нижней границами каждой группы. Так длина первого интервала составляет 200 чел. (500 – 300). Ширина открытого интервала приравнивается к ширине смежного с ним интервала, таким образом, верхняя граница последнего интервала представляется равной 3000 чел. Разделив число предприятий каждой группы на соответствующую длину интервала, получают плотность распределения. В первой группе 15 предприятий попадают на интервал 300—500 чел., во второй — 39 предприятий на 500—1000 чел. Число предприятий во второй группе значительно больше, чем в первой, тогда как плотности распределения практически равны. Аналогично рассчитывается и относительная плотность распределения.

В последней графе представлен ряд накопленных частот, или кумулятивный ряд, показывающий количество случаев выше или ниже определенного уровня. Накопленные частоты рассчитываются путем последовательного прибавления к частотам первой группы частот последующих групп; так, накопленная частота третьей группы равна 139 (15 + 39 + 85). Последнее значение кумулятивного ряда 150 совпадает с объемом распределения, т.е. общим числом исследуемых предприятий. Согласно построенному кумулятивному ряду приблизительно одна треть искомого распределения (54 предприятия) имеет численность занятых не более 1000 человек. Аналогичным образом строится и ряд накопленных частостей.