ВВЕДЕНИЕ 5 страница. Точка движется по криволинейной траектории согласно закону ( - в метрах, - в секундах).

Пример №3. Естественный способ задания движения точки.

Точка движется по криволинейной траектории согласно закону ( - в метрах, - в секундах).

Определить скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории в момент времени от начала движения, если в этот момент угол между векторами ускорения и скорости равен (рис.64).

Решение:

Обозначим угол между векторами и .

;

.

При , , .

Следовательно, выражение позволяет установить соотношение между полным и касательным ускорением точки.

Полное ускорение точки:

.

Учитывая, что , найдем нормальное ускорение точки в заданный момент времени:

Радиус кривизны траектории определим по формуле:

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ

В ВЫБРАННОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

Решение задачи необходимо проводить в такой последовательности:

1) выбрать систему координат, исходя из условия задачи;

2) составить проекции ускорения на оси координат;

3) проинтегрировать полученные зависимости и найти уравнения, определяющие изменения координат точки как функции времени;

4) определить постоянные интегрирования по начальным условиям.

Пример №4.

Ускорение равно и направлено по оси в отрицательном направлении. При скорость точки равна и была направлена по оси в положительном направлении. При точка находилась на оси на расстоянии от своего начального положения (рис. 65). Определить уравнение движения точки.

Решение:

Точка движется прямолинейно вдоль оси , следовательно, проекция ускорения на ось равна:

. (1)

Представим уравнение (1) в виде:

или (2)

После интегрирования (2) получим:

. (3)

Зная скорость точки при , можно найти произвольную постоянную :

;

.

Тогда получим выражение для вычисления скорости в любой момент времени:

. (4)

Учитывая, что и разделяя переменные, получим:

(5)

Интегрируя (5), получим:

. (6)

Постоянную интегрирования найдем из условия, что при , :

;

.

В окончательном виде уравнение движения имеет вид:

.

2.5. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором всякая прямая, неизменно связанная с этим телом, при движении остается параллельной своему начальному положению

(рис. 66).

При поступа­тельном движении точки тела могут двигаться как по прямолинейным, так и по криволиней­ным траекториям.

На рис.67 спарник , соединяющий кривошипы и , совершает поступательное движение, а его точки и движутся по окружностям. Любая прямая, проведенная по подвес­ной кабине вертикального коле­са обозрения (рис. 68), во время вращения колеса остается параллельной

самой себе. Сле­довательно, подвесные кабины совершают поступательное дви­жение по окружности.

При поступательном дви­жении тела все его точки дви­жутся по одинаковым (при нак­лонении совпадающим) траекто­риям и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и уско­рения.

Так как все точки тела при поступательном движении дви­жутся одинаково, то поступательное движение тела вполне опреде­ляется движением какой-либо одной его точки. Таким образом, за­дача изучения поступательного движения твердого тела сводится к задаче кинематики точки.

Уравнениями поступательного движения твердого тела явля­ются уравнения движения любой точки тела. Например, для спарника (рис.67) уравнениями движения будут:

, , (2.26)

Скорость и ускорение, общие для всех точек поступательно движущегося тела, являются скоростью и ускорением этого тела.

Пример №5.

От кривошипа 1 с помощью ползуна 2 приводится в поступательное движение кулиса 3 (рис.69) по закону . Определить скорость точки кулисы в момент времени .

Решение:

Так как при поступательном движении кулисы ее точки движутся одинаково, скорости точек и равны между собой. Зная закон движения точки , можно найти скорость:

.

При , .

2.6. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ.

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором все его точки, лежащие на прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными.

Если тело закрепить в двух точках (например, при помощи подшипника и подпятника ), то прямая, проходящая через эти точки, и будет осью вращения. Кинематическими характеристиками вращательного движения тела являются угол поворота (рис.70), угловая скорость и угловое ускорение .

При вращении тела вокруг оси угол поворота тела изменяется с течением времени:

(2.27)

Уравнение (2.27) является уравнением вращательного движения тела. Угол поворота тела измеряется в радианах.

Величина, характеризующая изменение угла поворота тела с течением времени, называется угловой скоростью.

Угловая скорость тела равна производной от угла по времени:

. (2.28)

Угловая скорость считается положительной, если направление вращения тела противоположно движению часовой стрелки. Следовательно, знак угловой скорости указывает направление вращения тела. Угловая скорость измеряется в радианах в секунду. Единица угловой скорости обозначается так:

или или

В технике угловую скорость тела часто выражают в оборотах в минуту . Зависимость между и определяется соотношением:

(2.29)

Величина, характеризующая изменение угловой скорости тела с течением времени, называется угловым ускорением. Угловой ускорение тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости тела по времени или второй производной по времени от угла поворота:

(2.30)

Угловое ускорение тела измеряется или или .

Если модуль угловой скорости с течением времени возрас­тает, вращение тела является ускоренным, а если убывает - за­медленным. 3нак угловой скорости определяет направление враще­ния.

Угловую скорость и угловое ускорение тела можно изобра­зить векторами, направленными вдоль оси вращения (рис, 71).

Вектор угловой скорости тела направлен вдоль оси вращения так, чтобы глядя с его конца, видеть вращение тела в направлении, противоположном движению часовой стрелки. При ус­коренном вращении тела направления векторов и совпа­дают (рис.71,а).

Любая точка вращающегося тела, не лежащая на оси враще­ния, движется по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Скорость точки пропорциональна расстоянию точки до оси вращения и зависит от угловой скорости тела (рис.72).

(2.31)

Вектор скорости точки вращающегося тела направлен перпендику­лярно к радиусу, соединяющему точку с осью вращения. Иными сло­вами, вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону вращения.

Скорость точки, лежащей на оси вращения, равна нулю. Так как точка вращающегося тела движется, по криволинейной траектории, ус­корение точки будет представлено нормальной и касательной сос­тавляющими (рис.73):

(2.32)

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости точки по направлению, зависит от радиуса кривизны траектории, т.е. рас­стояния точки до оси вращения:

. (2.33)

Касательное ускорение характе­ризует изменение модуля скорости точки вращающегося тела с течени­ем времени, зависит от углового ускорения тела и расстояния точки до оси вращения:

(2.34)

Модуль ускорения точки вращающегося тела можно определить по формуле:

. (2.35)

Связь между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движения твердого тела представлена в табл.2.

Таблица 2

Кинематические характеристики и вид движения	Поступательное движение тела	Вращательное движение тела
Уравнение движения	Общая формула   Равномерное движение   Равномерное переменное движение
Скорость	Общая формула   Равномерное движение   Равномерно переменное движение   Размерность	Линейная		Угловая
Ускорение	Общая формула   Равномерно переменное движение   Размерность	Касательное		Угловое

Пример №6.

Ротор электромотора вращается с угловой скоростью . После выключения он делает до полной остановки оборотов. Считая вращение ротора равнозамедленным, найти время вращения ротора до полной остановки, закон вращательного движения, угловую скорость и угловое ускорение ротора за время торможения.

Решение:

Для равнопеременного вращательного движения уравнение изменения кинетических параметров имеют вид:

; (1)

До полной остановки ротор повернется на угол :

.

В момент начала торможения ротор имел начальную угловую скорость:

.

В конце торможения угловая скорость ротора равна нулю:

; ; ;

;

.

Время торможения ротора:

.

Угловое ускорение:

.

Подставив значения начальной угловой скорости и углового ускорения в (1), получим закон изменения угловой скорости и угла поворота ротора в зависимости от времени:

.

2.7. МЕХАНИЧЕСКИЕ ПЕРЕДАЧИ.

Передача движения от одной машины к другой или внутри машины от одного ее вала к другому осуществляется разнообразными механизмами, называемыми механическими передачами. Переда­ча движения может осуществляться:

а) гибкой связью (ременные, цепные передачи);

б) непосредственным контактом (фрикционные, зубчатые передачи).

Валы и шкивы, от которых передается движение, называются ведущими, воспринимают движение ведомые валы и шкивы.

Ременная передача между параллельными валами шкет быть открытой (рис.74,а) или перекрестной (рис.74,б). Перекрестная передача позволяет изменить направление вращения.

При отсутствии проскальзывания все точки ремня движутся с одинаковой скоростью:

,

откуда можно получить соотношение между кинематическими харак­теристиками и размерами вращающихся звеньев:

.

Фрикционными называются устройства, передача вращательного движения в которых осуществляется за счет трения. Передача вращения между параллельными валами может осуществляться цилиндрическими колесами (рис.75,а), а между валами с пересекающими осями (рис.75,б) - коническими колесами. Кинематические характеристики и размеры фрикционных колес свя­заны между собой соотношением:

. (2.37)

С помощью вариатора (рис.75,в) можно путем перемещения колеса вдоль диаметра колеса получить переменное соотношение меж­ду кинематическими характеристиками и размерами звеньев:

(2.38)

где - переменное расстояние средней плоскости колеса от

оси колеса ;

- радиус колеса .

Зубчатые передачи являются одними из самых распространенных типов передаточных механизмов (рис.76,77,78,79). Скорость точ­ки можно выразить через угловые скорости и размеры колес:

.

Так как число зубьев пропорционально размеру колес, можно полу­чить следующие соотношения:

. (2.39)

При внешнем зацеплении (рис.77,а) колеса вращаются в противо­положных направлениях, при внутреннем зацеплении (рис.77,б) -направление вращения совпадает. Конические зубчатые колеса (рис.78) служат для передачи вращения между пересекающимися валами.

Для преобразования вращательного движения в поступательное при­меняют реечное зацепление (рис,79).

Скорость поступательно движущейся рейки равна скорости точки контакта и может быть определена по формуле:

Многоступенчатой передачей называется механизм, содержащий ряд простых передач (рис. 80). Для всей передачи от ведущего вала и валу можно установить следующие соотношения:

(2.30)

Пример № 7.

Дисковая пила (рис.81) диаметром приводится в движение от электродвигателя ременной передачей, шкивы которой имеют размеры и . С какой угловой скоростью должен вращаться шкив электродвигателя, чтобы скорость зу­бьев пилы не превышала ?

1. Линейная скорость зубьев пилы пропорциональна угловой скорости пилы и шки­ва :

,

откуда .

Шкив насажен на один вал с пилой, следовательно, угловая скорость шкива равна .

2. Шкивы и соединены бесконечным ремнем. Выразим соотношение между угловыми скоростями шкивов и их размерами: